5. Докажите, что при любом натуральном и значение выражения: 1) 49^n - 25^n делится на 24;
2) 25 ^ n - 9 ^ n делится на 24;
3) 6 ^ (2n) - 2 ^ (2n) делится на 32;
4) 21 ^ n + 4 ^ (n + 2) делится на 17;
5) 13 ^ n + 3 ^ (n + 2) кратно 10:
6) 5 ^ n + 7 * 9 ^ n кратно 4.
1) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 49^n - 25^n делится на 24.
Для начала заметим, что 49^n и 25^n являются квадратами. Выразим их как квадраты, чтобы проще провести доказательство:
49^n - 25^n = (7^n)^2 - (5^n)^2 = (7^n + 5^n)(7^n - 5^n).
Заметим, что два множителя (7^n + 5^n) и (7^n - 5^n) обязательно имеют разные остатки при делении на 3. Это верно, так как 7 и 5 дают разные остатки при делении на 3 (7 ≡ 1 (mod 3), 5 ≡ 2 (mod 3)).
Один из этих множителей обязательно делится на 3, так как сумма чисел, дающих разные остатки при делении на 3, является кратной 3. Также один из этих множителей делится на 2, так как произведение двух чисел, одно из которых делится на 2, всегда делится на 2.
Таким образом, произведение (7^n + 5^n)(7^n - 5^n) делится на 3 и на 2 одновременно, что равносильно делению на 6. Значит, выражение 49^n - 25^n делится на 6.
Однако, нам нужно доказать, что это выражение делится на 24. Для этого заметим, что 49^n - 25^n также делится на 4, так как является разностью квадратов, и произведение двух чисел, от которых каждое является квадратом, всегда делится на 4.
Кроме того, так как 49^n - 25^n делится и на 6, и на 4, оно обязательно делится и на их наименьшее общее кратное, то есть на 24.
Таким образом, при любом натуральном n выражение 49^n - 25^n делится на 24.
2) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 25 ^ n - 9 ^ n делится на 24.
Рассмотрим выражение 25^n - 9^n. Разложим каждое слагаемое на множители:
25^n - 9^n = (5^n)^2 - (3^n)^2 = (5^n + 3^n)(5^n - 3^n).
Аналогично предыдущему заданию, заметим, что (5^n + 3^n) и (5^n - 3^n) имеют разные остатки при делении на 3.
Один из этих множителей делится на 3, так как сумма чисел, дающих разные остатки при делении на 3, является кратной 3. Один из этих множителей делится на 2, так как произведение двух чисел, одно из которых делится на 2, всегда делится на 2.
Значит, произведение (5^n + 3^n)(5^n - 3^n) делится на 6. Кроме того, оно также делится на 4, так как разность двух квадратов всегда делится на 4.
Значит, выражение 25^n - 9^n делится на 24 при любом натуральном n.
3) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 6^(2n) - 2^(2n) делится на 32.
Рассмотрим выражение 6^(2n) - 2^(2n). Разложим каждое слагаемое на множители:
6^(2n) - 2^(2n) = (2*3^n)^2 - 2^(2n) = 4(3^n)^2 - 4^n.
Заметим, что это выражение является разностью двух квадратов 4(3^n)^2 - 4^n = (2(3^n) - 2^n)(2(3^n) + 2^n).
Рассмотрим первый множитель (2(3^n) - 2^n). Заметим, что разность двух чисел, являющихся степенями 2 и 3 соответственно, делится на 2. Это верно, так как 2^n и 3^n имеют разные остатки при делении на 2 (2^n ≡ 0 (mod 2), 3^n ≡ 1 (mod 2)). Также разность двух степеней делится на 3, так как сумма чисел, дающих разные остатки при делении на 3 (2 ≡ 2 (mod 3), 3 ≡ 0 (mod 3)), делится на 3.
Значит, первый множитель делится на 6, а значит и на 2 и 3 одновременно.
Остается рассмотреть второй множитель (2(3^n) + 2^n). Он также делится на 2, так как произведение двух чисел, одно из которых делится на 2, всегда делится на 2.
Таким образом, произведение (2(3^n) - 2^n)(2(3^n) + 2^n) делится на 6 и на 2 одновременно, а значит и на их наименьшее общее кратное, то есть на 12.
Кроме того, поскольку это выражение является разностью двух квадратов, оно также делится на 32.
Значит, выражение 6^(2n) - 2^(2n) делится на 32 при любом натуральном n.
4) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 21^n + 4^(n + 2) делится на 17.
Рассмотрим выражение 21^n + 4^(n + 2). Заметим, что последнее слагаемое 4^(n + 2) можно переписать как 16 * 4^n.
Теперь рассмотрим выражение 21^n + 16 * 4^n.
Заметим, что 21^n и 4^n дают разные остатки при делении на 17 (21^n ≡ 4^n (mod 17)). Разность двух чисел, дающих разные остатки при делении на 17, обязательно делится на 17.
Таким образом, разность 21^n - 4^n делится на 17.
Теперь рассмотрим выражение 21^n + 16 * 4^n. Заметим, что 16 * 4^n делится на 17, так как 16 ≡ -1 (mod 17) и (-1) * 4^n ≡ -(4^n) (mod 17).
Сложение двух чисел, одно из которых делится на 17, всегда даёт число, которое также делится на 17.
Таким образом, выражение 21^n + 16 * 4^n делится на 17 при любом натуральном n.
5) Докажите, что при любом натуральном n выражение 13^n + 3^(n + 2) кратно 10.
Рассмотрим выражение 13^n + 3^(n + 2). Заметим, что второе слагаемое можно переписать как 9 * 3^n.
Теперь рассмотрим выражение 13^n + 9 * 3^n.
Заметим, что 3^n и 13^n дают разные остатки при делении на 10 (3^n ≡ 3^n (mod 10), 13^n ≡ 3^n (mod 10)). Сложение двух чисел, дающих разные остатки при делении на 10, обязательно кратно 10.
Таким образом, сумма 13^n + 9 * 3^n делится на 10 при любом натуральном n.
6) Докажите, что при любом натуральном n выражение 5^n + 7 * 9^n кратно 4.
Рассмотрим выражение 5^n + 7 * 9^n. Заметим, что первое слагаемое 5^n можно переписать как (2^2 + 1)^n, а второе слагаемое 9^n как (3^2)^n.
Теперь рассмотрим выражение (2^2 + 1)^n + 7 * (3^2)^n.
Заметим, что (2^2 + 1)^n делится на 2^2, так как в разложении (2^2 + 1)^n в сумме будут присутствовать все слагаемые вида (2^2)^k, где k принимает значения от 0 до n. Следовательно, разность между (2^2 + 1)^n и (2^2)^n делится на 2^2.
Также, (3^2)^n делится на 2^2, так как 3^2 ≡ 1 (mod 2^2), а произведение двух чисел, одно из которых делится на 2^2, всегда делится на 2^2.
Таким образом, сумма (2^2 + 1)^n + 7 * (3^2)^n делится на 2^2 при любом натуральном n.
Также заметим, что остаток от деления (2^2 + 1)^n на 4 будет равен 1, так как в разложении (2^2 + 1)^n в сумме будет присутствовать только одно слагаемое, равное 1^n = 1 (1 ≡ 1 (mod 4)). При этом остаток от деления (3^2)^n на 4 будет также равен 1, так как 3^2 ≡ 1 (mod 4), и любая степень числа 1 даёт 1.
Сумма двух чисел, каждое из которых имеет остаток 1 при делении на 4, будет иметь остаток 2 при делении на 4.
Таким образом, сумма (2^2 + 1)^n + 7 * (3^2)^n делится на 2^2 и имеет остаток 2 при делении на 4 при любом натуральном n.
Все задачи решены и доказаны.