Question

Решите неравенство log6(x+4)+log6(x+1)≤2

Answer 1

$\boxed{\large \boldsymbol x\in\bigg(-1;~\dfrac{-5+\sqrt{33} }{2}~~ \bigg]} .$

Объяснение:

ОДЗ:

$\displaystyle\left \{ {{x+4 0} \atop {x+1 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x -4} \atop {x -1}} \right. \Rightarrow \boxed{x\in(-1;~+\infty)} .$

Преобразуем, пользуясь тем, что $\log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y).$

$\log_{\sqrt{6} } \bigg((x+4)(x+1)\bigg)\leq 2\Leftrightarrow \log_{\sqrt{6} }\bigg(x^2+x+4x+4\bigg)\leq 2.$

Поскольку $\sqrt{6} 1,$выражение $\log_{\sqrt{6} } \bigg(x^2+x+4x+4\bigg)\leq 2$равносильно $\bigg(x^2+x+4x+4\bigg)\leq \bigg(\sqrt{6} \bigg)^2.$

$x^2+x+4x+4\leq \bigg(\sqrt{6} \bigg)^2\Leftrightarrow x^2+5x+4\leq 6~;\\x^2+5x+4-6\leq 0~;~x^2+5x-2\leq 0~;~x^2+5x-2=0~;\\D=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-2)=25+8=33\Rightarrow x_{1;2} =\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} .$

Корни:

$\displaystyle x_1=\frac{-5-\sqrt{33} }{2} \approx -5,3$- не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=\dfrac{-5+\sqrt{33} }{2} \approx0,3$- удовлетворяет ОДЗ.

ответ с учетом ОДЗ: $\blacktriangleright \bf x\in \bigg(-1;~\dfrac{-5+\sqrt{33} }{2} ~~\bigg].$