Question

Сумма коэффициентов второго и третьего слагаемых разложения $\bigg(\sqrt[5]{x^2}-\dfrac{1}{2\sqrt[6]{x}}\bigg)^n$ равна $25,5.$ Написать член, не содержащий $x.$

Answer 1

Бином Ньютона  $(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^1a^{n-1}b+C_{n}^2a^{n-2}b^2+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$ .

В задании  $a=\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}\ ,\ \ b=-\dfrac{1}{2\sqrt[6]{x}}=-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{6}}$  .

Запишем разложение.

$\displaystyle \Big(x^{\frac{2}{5}}+\dfrac{-1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{6}}\Big)^{n}==x^{\frac{2n}{5}}+n\cdot x^{\frac{2(n-1)}{5}}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)\cdot x^{-\frac{1}{6}}+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot x^{\frac{2(n-2)}{5}}\cdot \Big(-\frac{1}{2}\Big)^2\cdot x^{-\frac{2}{6}}+...+\Big(-\frac{1}{2}\Big)^{n}\cdot x^{-\frac{n}{6}}$  

Сумма коэффициентов 2 и 3 слагаемых разложения равна

$\displaystyle -\dfrac{n}{2}+\frac{n(n-1)}{2\cdot 4}=25,5\ \ \Big|\cdot 8-4n+n(n-1)=204\ \ ,\ \ n^2-5n-204=0\ \ ,\ \ D=5^2+4\cdot 204=841=29^2\ ,n_1=-12 < 0\ \ ne\ podxodit\ ,\ \ n_2=17$

Показатель степени равен  n=17 .

Член разложения  $T_{k+1}=C_{17}^{k}\cdot (x^{\frac{2}{5}})^{17-k}\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{6}}\Big)^{k}=C_{17}^{k}\cdot x^{\frac{2(17-k)}{5}}\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{k}\cdot x^{-\frac{k}{6}}==C_{17}^{k}\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{k}\cdot x^{\frac{2(17-k)}{5}-\frac{k}{6}}$

, который не содержит  х ,  имеет показатель степени при  х , равный нулю, поэтому

$\dfrac{2(17-k)}{5}-\dfrac{k}{6}=0\ \ \to \ \ \ 204-12k-5k=0\ \ ,\ \ \ 17k=204\ \ ,\ \ k=12$  .

Тогда необходимый нам член разложения имеет номер  k+1=13 ,  

$T_{13}=C_{17}^{12}\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{12}\cdot x^0=C_{17}^5\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{12}=\dfrac{17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}{5!}\cdot \dfrac{1}{2^{12}}==\dfrac{6188}{4096}=\dfrac{1547}{1024}$