Question

Найдите наименьшее значение выражения

Answer 1

ответ:   2 .

Объяснение:

   Перетворимо даний триг. вираз ( ctgα - tgα )/( cos4α + 1 ) =

= ( cosα/sinα - sinα/cosα )/( 2cos²2α ) = ( cos²α -

- sin²α ) / ( sinαcosα2cos²2α ) = 1/( sin2α cos2α  ) = 2/(2sin2α cos2α ) =

= 2/sin4α .   Вираз    2/sin4α  , який дорівнює даному , має найменше

значення  , коли його знаменник має найбільше значення sin4α = 1 ;

воно досягається при  α = π/8 Є ( 0 ; π/4 ) . Найменше значення

даного виразу буде дорівнювати  2 : 1 = 2 .

Answer 2

ответ: 2

Объяснение:

Найдите наименьшее значение выражения

$\displaystyle \frac{\mathrm {ctg}a - \mathrm{tg }a}{1+ \cos 4a}$

при   $0 < a < \dfrac{\pi }{4}$
 
$\displaystyle \frac{\mathrm {ctg}a - \mathrm{tg }a}{1+ \cos 4a} = \frac{\dfrac{\cos a}{\sin a} - \dfrac{\sin a }{\cos a} }{1 + (\cos^22a - \sin^2 2a )} = \frac{\dfrac{\cos^2 a - \sin ^2 a}{\sin a\cos a} }{\sin ^22 a + \cos ^22a+ \cos^22a-\sin^22a} =$

$\displaystyle=\frac{\dfrac{\cos 2a }{\sin a\cos a} }{2\cos ^22a} = \frac{ \Big\slash \!\!\!\!\!\!\!\!\cos 2a}{2\sin a\cos a\cdot \cos^{ 2\!\!\!\not 2} 2a } = \frac{1}{\sin 2a \cos 2a}\cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2 \sin 2a\cdot \cos 2a} = \frac{2}{\sin 4a }$

$0 < 4a < \pi$

Так как в данных четвертях синус положительный , то для того  чтобы получить наименьшее  значение  знаменатель должен быть максимальным  sin4a = 1

$\dfrac{2}{\sin 4a } =\dfrac{2}{\sin 90} = 2$