Question

Вычислите определённый интеграл от 0 до Пи sin² x dx.

Answer 1

π/2

Объяснение:

sin²x=(1-cos2x)/2=½(1-cos2x) - формула понижения степени

$\int\limits_{0}^{\pi} \sin ^{2} x dx = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (1- cos2x)dx = \\ \\ = \left.\dfrac{1}{2} (x - \dfrac{1}{2} sin2x)\right|_{0}^{\pi} = \left.\dfrac{x}{2} - \dfrac{sin2x}{4} \right|_{0}^{\pi} = \\ \\ = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{sin2\pi}{4} - \dfrac{0}{2} + \dfrac{sin0}{4} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{0}{4} + \dfrac{0}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

Answer 2

Применяем формулу понижения степени   $sin^2x=\dfrac{1-cos2x}{2}$   .

$\displaystyle \int\limits^{\pi }_0\, sin^2x\, dx=\int\limits^{\pi }_0\, \frac{1-cos2x}{2}\, dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0\, 1\cdot dx-\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0\, cos2x\, dx==\frac{1}{2}\cdot x\, \Big|_0^{\pi }-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot sin2x\Big|_0^{\pi }=\frac{1}{2}\Big(\pi -0\Big)-\frac{1}{4}\Big(\underbrace{sin2\pi }_{0}-\underbrace{sin0}_{0}\Big)=\frac{\pi }{2}$