Question

при каком наименьшем целом значении параметра а неравенство

справедливо для любого х>3?

Answer 1

$\[\left\{\begin{aligned}&(a-1) x^2 - 2x - a 0, \\[1ex] &x 3.\end{aligned}\right.\]$

Рассмотрим сначала особую точку $a = 1$ --- там парабола вырождается в прямую. Тогда

$\[\left\{\begin{aligned}&{-2x}-1 0, \\ &x 3\end{gathered}\right.\implies x\in\varnothing.\]$

Значит, все дальнейшие рассуждения проводим при $a\neq 1$.

Найдём корни функции $f(x) = (a-1) x^2-2x-a$:

$x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{a^2-a+1}}{a-1} \equiv x_0 \pm \dfrac{\sqrt{a^2-a+1}}{a-1},\quad x_0 = \dfrac{1}{a-1},$

где $x_0$ --- вершина параболы и по совместительству точка экстремума функции $f(x)$.

Значение функции в этой точке равно

$f_0 = f(x_0) = -\dfrac{a^2-a+1}{a-1}=-\dfrac{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{a-1}.$

Из исследования знаков производной/функции легко установить, что при $a < 1$ величина $f_0$ --- максимум (это, впрочем, понятно и из вида функции $f(x)$), больший нуля. Причём в этом случае $x_0 < 0$, т.е. понятно, что в области $x 3$ функция будет падать от какого-то максимального положительного (это в лучшем случае, а может уже и от отрицательного) значения. В любом случае, рано или поздно значение функции станет меньше нуля.

Таким образом, рассматриваем значения $a 1$.

Ну, раз просят наименьшее целое значение параметра, то не будем далеко ходить и рассмотрим $a=2$.

Корни и точка экстремума:

$x_{1,2} = 1\pm\sqrt{3},\quad x_0 = 1.$

Теперь уже $x_0$ - минимум функции, а (после аналогичного анализа) $f_0 < 0$.

Если нам повезёт, то правый (который $x_2 = 1+\sqrt{3}$) корень будет лежать левее точки $x=3$, а это будет означать, что к тому времени как функция подойдёт к $x=3$, она уже будет положительна (ведь правее экстремума $x_0 = 1$ парабола рогами вверх будет идти только вверх). Исследуем:

$\begin{gathered}1+\sqrt{3} \vee 3, \\ \sqrt{3} \vee 2, \\ 3 < 4\end{gathered} \implies 1+\sqrt{3} < 3.$

Победа.

ответ. $a=2$.