Question

Число a(a > 1) такое наименьшее натуральное, что при делении его и на 2017, и на 2018 в остатке будет 1. Найти остаток при делении числа а на 5.
а)1 б)2 с)0 д)3

Ребят , с хорошим и банальным объяснением .

Answer 1

b) 2

Объяснение:

Число даёт остаток 1 при делении на 2017 — это значит, что оно почти делится на 2017, просто у него есть лишняя единичка. То есть число a можно представить, как a = 2017p + 1 (p — это какое-то натуральное число). То же самое можно сказать и про 2018: a = 2018q + 1 (опять же, q — натуральное число). Получаем:

a = 2017p + 1

a = 2018q + 1

Левые части равны, значит, правые тоже должны быть равны:

2017p + 1 = 2018q + 1

2017p = 2018q

Чтобы найти наименьшее a, необходимо найти либо наименьшее возможное p, либо наименьшее возможное q и подставить в одно из уравнений.

Левая часть последнего уравнения делится на 2017 (потому что там есть множитель 2017), значит, и правая тоже делится на 2017. Но 2018 не имеет общих множителей с 2017 (то есть взять какие-то общие части из 2017 и 2018 нельзя, так как НОД(2017, 2018) = 1 — НОД соседних чисел всегда равен 1). Тогда на 2017 будет делиться q, а наименьшее q, которое делится на 2017 — это само q = 2017 (вообще 0 тоже делится на 2017, но если взять q = 0, то a = 1, что не удовлетворяет условию). Получаем a = 2018q + 1 = 2018·2017 + 1.

В ответе нужно указать остаток от деления на 5. Вспомним признак делимости на 5: если число оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на 5. Значит, если оно даёт какой-то остаток при делении на 5, появляются лишние "добавочки", и последняя цифра увеличится на этот остаток.

Проверим последнюю цифру числа a: __7·__8 + 1 = __6 + 1 = __7. Последняя цифра 7. Она отличается от 5 на 2, значит, и остаток тоже будет равен двум.