Question

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння
1-sin 2x=(sin2x+cos 2x)^2

Answer 1

Наименьший положительный корень $\dfrac{\pi }{3}.$

Объяснение:

Найти наименьший положительный корень уравнения

$1-sin2x=(sin2x+cos2x)^{2}$

Раскроем скобки в правой части уравнения, для этого применим формулу сокращенного умножения

$(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2} .$

$1-sin2x=(sin2x+cos2x)^{2};\\1-sin2x=sin^{2} 2x+2sin2x\cdot cos2x+cos^{2} 2x$

Так как по основному тригонометрическому тождеству

$sin^{2} 2x+cos^{2} 2x=1,$

то получим

$1-sin2x=1+2sin2x\cdot cos2x;\\2sin2x\cdot cos2x+sin2x =0;\\sin2x( 2cos2x+1)=0;\\ \left [\begin{array}{l} sin2x = 0, \\ 2cos2x+1=0; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} 2x = \pi n,~n\in\mathbb {Z}, \\ cos2x=-\dfrac{1}{2} ; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi n}{2} ~n\in\mathbb {Z}, \\ \\2x=\pm\dfrac{2\pi }{3}+2\pi k ,~k\in\mathbb {Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi n}{2} ~n\in\mathbb {Z}, \\ \\x=\pm\dfrac{\pi }{3}+\pi k ,~k\in\mathbb {Z} \end{array} .$

Найдем наименьший положительный корень.

1) При  n = 1    получим положительный  корень $x=\dfrac{\pi }{2}$

2) При k=0 получим два корня  $\pm\dfrac{\pi }{3}$, но положительным будет $\dfrac{\pi }{3}$.

Наименьшим будем корень $\dfrac{\pi }{3}.$

#SPJ1