Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = х^4–8х^2–9 на отрезке [–1;3].

Answer 1

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке, нужно найти ее экстремумы (точки максимума и минимума) и значения функции в концах отрезка.

1. Найдем производную функции y = x^4 – 8x^2 – 9, чтобы найти ее экстремумы:

y' = 4x^3 – 16x

2. Вычисляем точки, в которых производная равна нулю:

4x^3 – 16x = 0

4x(x^2 – 4) = 0

x1=0, x2=2, x3=-2

3. Проверяем знаки производных слева и справа от найденных точек, чтобы определить, являются ли они точками максимума или минимума:

- при x < -2 функция возрастает, затем убывает до x = -2, где достигается локальный минимум;

- при -2 < x < 0 функция убывает строго;

- при 0 < x < 2 функция возрастает строго;

- при x > 2 функция убывает, достигая локального максимума в точке x = 2.

4. Вычисляем значения функции в концах отрезка:

y(-1) = (-1)^4 – 8(-1)^2 – 9 = -2

y(3) = 3^4 – 8(3)^2 – 9 = 18

5. Находим максимальное и минимальное значение функции:

минимум: -2 (достигается в точке x = -1);

максимум: 18 (достигается в точке x = 3).

Таким образом, наибольшее значение функции y = x^4–8x^2–9 на отрезке [-1;3] равно 18, а наименьшее значение равно -2.