Для решения этой задачи необходимо найти значения функции y = sinx - cosx на концах отрезка [0; π] и в ее стационарных точках внутри этого отрезка.
На конца отрезка [0; π] функция y = sinx - cosx принимает следующие значения:
y(0) = sin(0) - cos(0) = 0 - 1 = -1
y(π) = sin(π) - cos(π) = 0 - (-1) = 1
Для нахождения стационарных точек функции y = sinx - cosx необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю:
y' = cosx + sinx = 0
cosx = -sinx
tgx = -1
x =3π/4
Таким образом, стационарная точка функции y = sinx - cosx находится внутри отрезка [0; π] и равна x = 3π/4.
Для нахождения значения функции в этой точке необходимо подставить ее значение в функцию:
y(3π/4) = sin(3π/4) - cos(3π/4) = (√2/2) - (-√2/2) = √2
Таким образом, наиольшее значение функции y = sinx - cosx на отрезке [0; π] равно 1, а наименьшее значение равно -1.
Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції y = sin(x) - cos(x) на вказаному відрізку [0; π], необхідно взяти похідну функції та знайти її точки екстремуму.
Похідна функції y = sin(x) - cos(x) обчислюється так:
dy/dx = cos(x) + sin(x).
Щоб знайти точки екстремуму, рівняємо похідну до нуля:
cos(x) + sin(x) = 0.
Можна спростити це рівняння:
sin(x) = -cos(x).
Тепер розглянемо відрізок [0; π] і визначимо значення функції на кінцях відрізка:
y(0) = sin(0) - cos(0) = 0 - 1 = -1,
y(π) = sin(π) - cos(π) = 0 - (-1) = 1.
Тепер знайдемо значення функції в точках, де похідна дорівнює нулю:
cos(x) + sin(x) = 0.
Існують дві такі точки на відрізку [0; π]: x = π/4 та x = 5π/4.
Тепер обчислимо значення функції y = sin(x) - cos(x) в цих точках:
y(π/4) = sin(π/4) - cos(π/4) = (√2/2) - (√2/2) = 0,
y(5π/4) = sin(5π/4) - cos(5π/4) = (-√2/2) - (-√2/2) = 0.
Таким чином, на відрізку [0; π] найбільше і найменше значення функції y = sin(x) - cos(x) рівні 1 і -1 відповідно.
Объяснение:
НАДЕЮСЬ