Question

Найди точки экстремума и значения функции в этих точках y=x^3+2x^2/(x-1)^2

Answer 1

Находим производную:
$y'=(\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2})'=\frac{(x^3+2x^2)'(x-1)^2-(x^3+2x^2)((x-1)^2)'}{(x-1)^4}=\\=\frac{(3x^2+4x)(x-1)^2-(x^3+2x^2)*2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{(x-1)(3x^3+4x^2-3x^2-4x-2x^3-4x^2)}{(x-1)^4}=\\=\frac{x^3-3x^2-4x}{(x-1)^3}=\frac{x(x^2-3x-4)}{(x-1)^3}=\frac{x(x-4)(x+1)}{(x-1)^3}$

Находим стационарные точки(точки в которых производная равна нулю):
$\frac{x(x-4)(x+1)}{(x-1)^3}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x-1)^3\neq0,\ x\neq1\\x(x-4)(x+1)=0\\x=0,\ \ \ x=4,\ \ \ x=-1$
х=-1 - точка максимума.
х=4, x=0 - точки минимума
$f(-1)=\frac{(-1)^3+2*(-1)^2}{(-1-1)^2}=\frac{1}{4}\\f(4)=\frac{(4)^3+2*(4)^2}{(4-1)^2}=\frac{96}{9}\\f(0)=0$

По вопросам в личку.