Question

Сократите дробь (x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)

Answer 1

(x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)

Разложим числитель на множители:

x^3+4x^2-9x-36= (x^3+4x^2)-(9x+36)=x^2(x+4)-9(x+4)=(x^2-9)(x+4)=(x-3)(x+3)(x+4)

Разложим знаменатель на множители:

x^3+2x^2-11x-12

Попробуем подобрать число, при подстановке которого наше выражение равно нулю. Первое такое число "-1". Разделим наш знаменатель на х+1:

x^3+2x^2-11x-12  | x+1

x^3 +x^2                x^2+x-12

       x^2 -11x

       x^2 + x

             -12x-12

             -12x-12

                     0

Мы получили квадратное уравнение х^2+x-12,

корнями которого будут числа "3" и "-4".

Итак, x^3+2x^2-11x-12=(х+1)(х-3)(х+4)

Наша дробь примет вид (x-3)(x+3)(x+4)/(х+1)(х-3)(х+4)=(х+3)/(х+1)

Answer 2

Вспомним саму теорему:

Если многочлен P(x) разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = P(a).

Рассмотрим первый многочлен

x³+4x²-9x-36

Если остаток нулевой, то x=a будет корнем

Для поиска корней, воспользуемся следствием из этой теоремы, то что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. (±1, ±2, ±3, ±4, ±6 и т.д.)

Составим схему

Вкратце об этой схеме: в верхней строке выписывваете коэффициенты, начиная со старшей степени x, в левой колонке вписываете предполагаемый корень. Первые два корня опущу (они не подходят, можете проверить на этой схеме). Далее первый коэффициент просто переписываете, следующий коэфф-т получается умножением корня на предыдущий коэфф-т(в той же строчке, что и сам корень) и сложением с коэфф-том в верхней строчки, т.е.

3*1+4 = 7 

3*7+(-9) = 12 

3*12-36 = 0, т.е. 3 - это корень. 

|_1__|__4__|__-9__|__-36__|

    3 |  1    |  7    |   12    |    0      |

  Получили x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x²+7x+12)

корни квадратного трехчлена, можно найти также по схеме или же продолжить искать корни в той же схеме

___|_1_|_7_|_12_|

-3  |  1  | 4   | 0

(x²+7x+12) = (x-3)(x-4)

x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x+3)(x-4)

Второй многочлен

x³+2x²-11x-12 (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12)

Если дробь сокращается, то корни должны совпадать

|_1_|_2_|_-11_|_-12_|

 3    |  1  | 5   |  4    |  0    |

x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x²+5x+4)

|_1_|_5_|_4_|

  -1  | 1   | 4  | 0   |

x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x-1)(x-4)