Question

Решите неравенство: 5|5x-x^2|+6+10x^3

Answer 1

$\displaystyle 5|5x-x^2|+6+10x^3 \leq x^4+25x^2\\\\\\1)\,\,\,5x-x^2 \geq 0\quad \rightarrow \quad x(x-5) \leq 0\quad \rightarrow \quad x\in[0;5]\\\\5(5x-x^2)+6+10x^3 \leq x^4+25x^2\\\\25x-5x^2+6+10x^3 \leq x^4+25x^2\\\\x^4-10x^3+30x^2-25x-6 \geq 0\\\\x^2(x^2-10x+25)+5x^2-25x-6 \geq 0\\\\x^2(x-5)^2+5x(x-5)-6 \geq 0\\\\D=(5x)^2-4\cdot (-6)\cdot x^2=25x^2+24x^2=49x^2=(7x)^2\\\\x_1=\frac{-5x+7x}{2x^2}=\frac{2x}{2x^2}=\frac{1}x\\\\x_2=\frac{-5x-7x}{2x^2}=-\frac{12x}{2x^2}=-\frac{6}x$

$\displaystyle x\bigg(x-5-\frac{1}x\bigg)\bigg(x-5+\frac{6}x\bigg) \geq 0\\\\(x^2-5x-1)(x^2-5x+6) \geq 0\\\\D=25+4=29\\\\x_{12}=\frac{5б\sqrt{29}}2\\\\D=25-4\cdot 6=25-24=1\\\\x_1=\frac{5+1}{2}=3\\\\x_2=\frac{5-1}2=2\\\\\\(x-2)(x-3)(x-\frac{5+\sqrt{29}}2)(x-\frac{5-\sqrt{29}}2) \geq 0$

Метод интервалов: ( нужные нам промежутки со знаком (+) )
$\displaystyle \underline{\quad + \quad\quad \frac{5-\sqrt{29}}{2} \quad \quad - \quad \quad 2 \quad \quad + \quad \quad 3 \quad \quad- \quad \quad \frac{5+\sqrt{29}}2 \quad \,\,+}$

С учетом того, что: $x\in[0;5]$
Часть ответа: $\boxed{x\in[2;3]}$

$\displaystyle 1)\,\,\,5x-x^2 \leq 0\quad \rightarrow \quad x(x-5) \geq 0\quad \rightarrow \quad x\in(-\infty;0)\cup(5;+\infty)\\\\-5(5x-x^2)+6+10x^3 \leq x^4+25x^2\\\\-25x+5x^2+6+10x^3 \leq x^4+25x^2\\\\x^4-10x^3+20x^2+25x-6 \geq 0\\\\x^2(x^2-10x+25)-5x^2+25x-6 \geq 0\\\\x^2(x-5)^2-5x(x-5)-6 \geq 0\\\\D=(-5x)^2-4\cdot (-6)\cdot x^2=25x^2+24x^2=49x^2=(7x)^2\\\\x_1=\frac{5x+7x}{2x^2}=\frac{12x}{2x^2}=\frac{6}x\\\\x_2=\frac{5x-7x}{2x^2}=-\frac{2x}{2x^2}=-\frac{1}x$

$\displaystyle x\bigg(x-5+\frac{1}x\bigg)\bigg(x-5-\frac{6}x\bigg) \geq 0\\\\(x^2-5x+1)(x^2-5x-6) \geq 0\\\\D=25-4=21\\\\x_{12}=\frac{5б\sqrt{21}}2\\\\D=25+4\cdot 6=25+24=49\\\\x_1=\frac{5+7}{2}=6\\\\x_2=\frac{5-7}2=-1\\\\\\(x+1)(x-6)(x-\frac{5+\sqrt{21}}2)(x-\frac{5-\sqrt{21}}2) \geq 0$

Метод интервалов: ( нужные нам промежутки со знаком (+) )
$\displaystyle \underline{\quad + \quad -1 \quad \quad - \quad \quad \frac{5-\sqrt{21}}{2} \quad \quad + \quad \quad \frac{5+\sqrt{21}}2 \quad \quad- \quad \quad 6 \quad \,\,+}$

С учетом того, что: $x\in(-\infty;0)\cup(5;+\infty)$
Часть ответа: $\boxed{x\in(-\infty;-1]\cup[6;+\infty)}$

Объединяя ответы от 1-го и 2-го случая, получим окончательный ответ:

$\boxed{x\in(-\infty;-1]\cup[2;3]\cup[6;+\infty)}$