Question

Доказать неравенство а²+b²+1≥a+b+ab. , нужно

Answer 1

Сделаем замену 
$a+b=x\\ ab=y$
тогда наше выражение перепишется в виде    
$x^2-2y+1 \geq x+y$
преобразуем 
$x^2+1 \geq x+3y$
добавим к обеим частям по $2x$ и заметим что 
 $(x+1)^2 \geq 3(x+y)$
подставим все  и получим 
$(a+b+1)^2 \geq 3(a+b+ab)$
теперь откроем скобки 
$a^2+b^2+2ab+2b+2a+1 \geq 3a+3b+3ab \\$
перенесем все в левую часть 
$a^2+b^2-a-b-ab+1 \geq 0$ 
Вспомним что 
$a^2+b^2 \geq 2ab\\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ подставим 
$a^2+b^2-a-b-\frac{a^2+b^2}{2} + 1 \geq 0\\ 2a^2+2b^2-2a-2b-a^2-b^2+2 \geq 0\\ a^2+b^2-2a-2b+2 \geq 0\\ (a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0$
то есть квадраты никогда не могут быть отрицательными чтд !