Чтобы найти матрицу линейного оператора A в другом базисе, мы должны выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти матрицу перехода P от старого базиса к новому базису.
Шаг 2: Найти обратную матрицу P⁻¹ к матрице перехода P.
Шаг 3: Вычислить матрицу нового линейного оператора Ag в новом базисе с использованием формулы:
Ag = P⁻¹ * A * P.
Давайте выполним эти шаги для данного вопроса.
Шаг 1: Найти матрицу перехода P от базиса {v1, v2, v3} к базису {u1, u2, u3}.
Поскольку нам дано, что базис {v1, v2, v3} состоит из столбцов стандартного базиса, а базис {u1, u2, u3} состоит из столбцов базисного представления, мы можем составить матрицу перехода P, в которой столбцы матрицы являются координатами векторов базиса одного базиса в другом базисе.
P = [ [1, 2, 1], [1, 1, -1], [2, 3, 0] ]
Шаг 2: Найти обратную матрицу P⁻¹ к матрице перехода P.
Чтобы найти обратную матрицу P⁻¹, мы можем использовать формулу:
P⁻¹ = (1/det(P)) * adj(P),
где det(P) - определитель матрицы P, а adj(P) - матрица алгебраических дополнений для матрицы P.
Шаг 3: Вычислить матрицу нового линейного оператора Ag в базисе {u1, u2, u3} с использованием формулы Ag = P⁻¹ * A * P.
Нам дана матрица линейного оператора A в базисе {v1, v2, v3}:
A = [ [1, 2, 3], [2, 1, 4], [-1, 0, 1] ].
Теперь, используя формулу Ag = P⁻¹ * A * P, найдем матрицу нового линейного оператора Ag в базисе {u1, u2, u3}:
Ag = [ [-3/2, 1/2, -1/2],
[3/2, -7/2, 4],
[1/2, 5/2, -2] ] * [ [1, 2, 3], [2, 1, 4], [-1, 0, 1] ] * [ [1, 2, 1], [1, 1, -1], [2, 3, 0] ]
cos19pi/6=корень из 3 делить на 2
tg15pi/4= -1
суммируем и получаем в ответе
корень из три минус 1