Question

Докажите, что 4n^3+6n^2+5n+9 при любом натуральном n делатся на 3

Answer 1

Метод матем индукции
1) проверим делимость на 3 при n=1
при n=1 4n^3+6n^2+5n+9=4+6+5+9=24 - делится на 3
2) предположим что делится на 3 при n=k
при n=к 4n^3+6n^2+5n+9=4k^3+6k^2+5k+9=(3k^3+6k^2+3k+9)+(k^3+2k) - делится на 3
значит (k^3+2k) - делится на 3, так как (3k^3+6k^2+3k+9) делится на 3
3) проверим делимость на 3 при n=k+1
при n=к+1
4n^3+6n^2+5n+9=4(к+1)^3+6(к+1)^2+5(к+1)+9=
=(3(к+1)^3+6(к+1)^2+3(к+1)+9)+((к+1)^3+2(к+1)) = A+B
A=(3(к+1)^3+6(к+1)^2+3(к+1)+9) - делится на 3
B=(к+1)^3+2(к+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2=(k^3+2k)+(3k^2+3k+3) = C+D
C = (k^3+2k) - делится на 3 (см пункт 2) )
D = (3k^2+3k+3) - делится на 3
значит B=C+D - делится на 3
значит 4n^3+6n^2+5n+9 при n=k+1 делится на 3
так как n=k+1 4n^3+6n^2+5n+9 = A+B
<<< доказано методом математической индукции >>>>

Answer 2

Пусть n = 3k +L, где L остаток от деления на три
L может быть 1  или 2
Из выражения слагаемые $6n ^{2}$ и 9 всегда делятся на 3
Остаются $4n ^{3}+5n$
$4 n^{3} +5n= n*(4 n^{2} +5)$
Проверим при n = 3k+ 1
(3k +1)(4($9k ^{2}+6k+1) +5)= (3k+1)(36k ^{2}+24k +9)= (3k+1)*3(13k ^{2}+8k$+3) - кратно трем
Проверим при n = 3k+2
(3k+2)($9k^{2}+36k+4+5)=(3k+2)(9k^{2}+36k+9)=(3k+2)*3*(3k ^{2}+$+12k+3) - кратно 3
Если проверить при n= 1 и n=2, то также получается кратно 3
Значит при любых n данная комбинация делится на 3