Question

Решить: 1)сколько корней имеет уравнение sinx+cosx=1 на отрезке [-п; 2п] 2)сколько корей имеет уравнение tgx+1/tgx=2 на отрезке [-2п; п] 3)сколько корней уравнениz sin3x+sin5x=sin4x удовлетворяют неравенству ( модуль x) /x/< =п/2 4) сколько корней имеет уравнение 3sin5x+4cos5x=6 на промежутке [-п; 2п]

Answer 1

$1)\ sin\ x+cos\ x=1\ \ |* \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \frac{ \sqrt{2} }{2}\ sin\ x+\frac{ \sqrt{2} }{2}\ cos\ x=\frac{ \sqrt{2} }{2}\\ \ cos\ \frac{\pi}{4}\ sin\ x +sin\ \frac{\pi}{4}\ cos\ x=\frac{ \sqrt{2} }{2}\\ (P.\ S.\ sin\ (a+b)=sin\ a\ cos\ b+ cos\ a\ sin\ b)\\ sin\ ( \frac{\pi}{4}+x)=\frac{ \sqrt{2} }{2}\\$
$\left[\begin{gathered}\ \frac{\pi}{4}+x=\frac{\pi}{4}+2\pi n ,\hfill \\ \frac{\pi}{4}+x=\pi-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathcal{Z};\ \ \ \end{gathered} \left[\begin{gathered}\ x=2\pi n,\hfill \\ x= \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in \mathcal Z. \\ \end{gathered}$
На отрезке [-π; 2π]:
0, π/2, 2π, то есть три корня.
$2)\ tg\ x+ \frac{1}{tg\ x}=2\\ OD3: \left \{ {{\ tg\ x\neq0,} \atop {cos\ x\neq 0; }} \right. \ \ \left \{ {{x\neq \pi n,} \atop {x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n.}} \right. \Rightarrow x\neq \frac{\pi n}{2},\ n\in \mathcal Z\\ tg\ x+ \frac{1}{tg\ x}-2=0\\ \frac{tg^2x+1-2tg\ x}{tg\ x}=0\\ tg^2x-2tg\ x+1=0\\ D=4-4=0\\ tg\ x= \frac{2}{2}=1\\ x= \frac{\pi}{4}+\pi n, n\in \mathcal Z$
На отрезке [-2π; π]:
-7π/4, -3π/4, π/4, то есть три корня.
3. На фотке
4. На фотке (0 корней)