Question

Решите уравнение: y′-y/x=xe^x, y(1)=e

Answer 1

Умножим левую и правую часть уравнения на $\mu (x)$, которое вычисляется таким образом:

$\mu(x)=e^\big{\int-\frac{dx}{x}}=e^\big{-\ln x}=e^\big{\ln\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{x}$

Имеем:

$\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{y}{x^2}=e^x$

Заметим, что $-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)$, получаем

$\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot y=e^x$

Воспользуемся тем, что левая часть уравнения - это дифференциал произведения двух функций.

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)=e^x~~~\Longleftrightarrow~~~ \displaystyle \int\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)dx=\int e^xdx~~~\Longleftrightarrow~~~ \dfrac{y}{x}=e^x+C\\ \\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\boldsymbol{ y=xe^x+Cx}}$

Нашли общее решение линейного неоднородного уравнения.

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия.

$e=e+C\\ C=0$

Получим частное решение задачи Коши: $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boldsymbol{y=xe^x}$