Question

При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня: ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0

Answer 1

$ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0$
 Если  у  данного  уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2 , то   их  сумма и произведение -  тоже натуральные числа.  тогда  по теореме Виета:

$x_{1} *x_{2} = \frac{3a-5}{a} \\$

$\frac{3a-5}{a} = n_{1}$,    где   n1  -   нат. число.  Тогда

$3a-5 = n_{1}*a \\$
Правая часть данного равенства делится на a,  значит и левая должна тоже делиться на a.  Слева имеем сумму двух слагаемых,  чтобы это сумма делилась на a,  надо чтобы оба слагаемых делились на a.

3a  делится на а,  и 5 должно делиться на а.  Т.о.  а∈{ -5, -1, 1, 5}.
 
Подставляем поочередно эти  значения а  в  выражение $\frac{3a-5}{a}$ .

$a=-5, \frac{3*(-5)-5}{-5}= \frac{-20}{-5}= 4 \\ a=-1, \frac{3*(-1)-5}{-1}= \frac{-8}{-1}= 8 \\ a=1, \frac{3*1-5}{1}= \frac{-2}{1}= -2 \\ a=5, \frac{3*5-5}{5}= \frac{10}{5}= 2 \\$

Т.о.  натуральное значение  выражение принимает при а=-5,  а=-1 и а=5.
По  т.Виета $x_{1} + x_{2} = \frac{a^2+5}{a} \\$
Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет  натуральным числом:

$a=-5; \frac{(-5)^2+5}{-5} = \frac{30}{-5} = -6 \\ a=-1; \frac{(-1)^2+5}{-1} = \frac{6}{-1} = -6 \\ a=5; \frac{5^2+5}{5} = \frac{30}{5} = 6 \\$

Итак, уравнение может иметь два различных натуральных корня только при  a=5.  Проверим  будут ли этом значении  а  корни исходного уравнения натуральными числами.  
При   a=5.  уравнение примет вид:  
 $5 x^{2} - 30x +10 =0 \\ x^{2} - 6x +2 =0 \\ D = 28$
значит корни будут иррациональными.

ответ:  ∅.