Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=| x^{2}-1| y=11-|x|

Answer 1

Без рисунка
при х≤-1 и х≥1, первая функция буде у=х²-1
при -1≤х≤1, она будет у=1-х²
вторая функция, при х≤0 - у=11+х;
при х≥0 у=11-х
вторая функция выше первой, первая всегда ≥0, и =0 при х=-1 и х=+1
обе функции парные:
$y_1=|x^2-1|\\ y_1(x)=|x^2-1|\ \ \ y_1(-x)=|(-x)^2-1|=|x^2-1|=y_1(x);\\ y_2(x)=11-|x|;\ \ y_2(-x)=11-|-x|=11-|x|$
обе фУНКЦИИ ПАРНЫЕ, ПОЭТОМУ их пересечения будут в некой точке х1, и х2=-х1
рассмотрим при х≥0
$y_1=y_2;\\ y=x^2-1=11-x\\ x^2+x-12;\\ D=1+48=49=7^2;\\ x=\frac{-1+7}{2}=3;\\ y_1(3)=|3^2-1|=|9-1|=8;<==y_2(3)=11-|3|=11-3=8;\\ y_1(-3)=|(-3)^2-1|=|9-1|=|8|=9;<=y_2(-3)=11-|-3|=8\\$
интегрирование по промежуткам:
-3≤х≤-1==> y1=x²-1 y2=11+x;
-1≤x≤0==>y1=1-x²; y2=11+x;
0≤x≤1==>y1=1-x²; y2=11-x;
1≤x≤3==>y1=x²-1; y2=11-x;
$I=I_1+I_2+I_3+I_4;\\ I= \int\limits^{-1}_{-3} {\left(11-|x|-|x^2-1|\right)} \, dx \\ I_1= \int\limits^{-1}_{-3} {\left(11+x-x^2+1\right)} \, dx = \int\limits^{-1}_{-3} {\left(12+x-x^2\right)} \, dx=\\ =12x|_{-3}^{-1}+\frac{x^2}{2}|_{-3}^{-1}-\frac{x^3}{3}|_{-3}^{-1}=12(-1+3)+\frac{1-9}{2}-\frac{-1+27}{3}=24-4-\frac{26}{3}\\ =20-\frac{26}{3}=\frac{60-26}{3}=\frac{34}{3};\\$
$I_2= \int\limits^{0}_{-1} {\left(11+x+x^2-1\right)} \, dx = \int\limits^0_{-1} {\left(x^2+x+10\right)} \, dx =\\ =\frac{x^3}{3}|_{-1}^0+\frac{x^2}{2}|_{-1}^0+10x|_{-1}^0=\frac{0-(-1)^3}{3}+\frac{0-(-1)^2}{2}+10(0-(-1))= \\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+10=\frac{2-3+30}{6}=\frac{29}{6};\\$
$I_3= \int\limits_0^1 {\left(11-x+x^2-1\right)} \, dx = \int\limits_0^1 {\left(x^2-x+10\right)} \, dx =\\ =\frac{x^3}{3}|_0^1-\frac{x^2}{2}|_0^1+10x|_0^1=\frac{(1)^3-0}{3}-\frac{(1)^2-0}{2}+10(1-0)= \\ \\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+10=\frac{2-3+30}{6}=\frac{29}{6};\\$
$I_4= \int\limits_1^3 {\left(11-x-x^2+1\right)} \, dx = \int\limits_1^3 {\left(12-x-x^2\right)} \, dx=\\ =12x|_1^3-\frac{x^2}{2}|_1^3-\frac{x^3}{3}|_1^3=12(3-1)-\frac{3^2-1^2}{2}-\frac{3^3-1^2}{3}=24-\frac{9-1}{2}-\frac{27-1}{3}\\ =24-\frac{8}{2}-\frac{26}{3}=24-4-\frac{26}{3}=20-frac{26}{3}=\\ =\frac{60-26}{3}=\frac{34}{3};\\$
$S=I_1+I_2+I_3+I_4=\frac{34}{3}+\frac{29}{6}+\frac{29}{6}+\frac{34}{3}=\\ =2\cdot\frac{34}{3}+2\cdot\frac{29}{6}=\frac{68}{3}+\frac{29}{3}=\frac{68+29}{3}=\frac{97}{3}=32\frac{1}{3}$