Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.

Answer 1

$c$ -  гипотенуза, $a,b$ - катеты треугольника  
$S=\frac{ab}{2}\\ a^2+b^2=64\\ a=\sqrt{64-b^2}\\ b^2 \leq 64\\\\ S=\frac{\sqrt{64-b^2}b}{2}\\ S(b)=\frac{\sqrt{64-b^2}b}{2}\\$ рассмотрим функцию , найдем производную 
$S'(b)=\frac{\sqrt{64-b^2}b}{2}'=\\ \frac{\sqrt{64-b^2}}{2}-\frac{b^2}{2\sqrt{64-b^2}}\\ S'(b)=0\\ 64-b^2-b^2=0\\ 64-2b^2=0\\ b^2=32\\ b=4\sqrt{2}\\ a=4\sqrt{2}$ то есть катеты должны быть равны между собой и равны числам $4\sqrt{2}=a=b$