Question

Сколько цифр содержит десятичная запись числа 7 корней з 20 в 14 степени?

Answer 1

$(7\sqrt{20})^{14}=(\sqrt{98})^{14}\cdot(\sqrt{10})^{14}=98^7\cdot10^7$

Второй множитель просто добавляет к записи 7 нолей, рассматриваем первый множитель. 98 — "немного меньше" 100, поэтому было бы логично ожидать, что $98^7$ "немного меньше" $100^7$. В последнем числе 15 цифр, покажем, что в нужном числе 14 цифр. По сути надо доказать неравенство $98^7\geqslant10^{13}$.

Оценим $98^{7}$.
Используем неравенство Бернулли: $(1+x)^n\geqslant 1+nx$, если $x\geqslant-1$.
$98^{7}=10^{14}\cdot(1-0.02)^7\geqslant10^{14}\cdot(1-0.14)\ \textgreater \ 10^{13}$

Итак, десятичная запись числа $98^7$ состоит из 14 цифр, $10^7$ добавляет ещё 7 нулей, всего получается 21 цифра.