1) Пусть задача поставлена для функции y=ctg(2x)+sin(x). ctg(2x) имеет множество значений (-inf;+inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений (-inf;+inf). Поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p. ответ: при любых значениях p. 2) Пусть задача поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x). y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1 Требуется определить множество значений этой функции. Пусть sin(x) = t. Тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. Наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1;1], так как t=sin(x). f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³. Нули числителя: t=∛2 Нули знаменателя: t=0. Расположим эти точки на числовой прямой. f'>0 f'>0 f'<0 f'<0 f'>0 -1 0 1 ∛2 > f ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ На отрезке [-1;1] функция возрастает с -1 до 0-. Затем с 0+ до 1 убывает. Это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1;1] достигается на одном из его концов. То есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1. При стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. Поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1;+inf). y=3-p - горизонтальная прямая. Она имеет общую точку с графиком функции y(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). Таким образом, 3-p>=-1, p<=4. ответ: при p<=4.
4x² + 49x + 4k = 0 12 x₁ + 8 x₂ = - 95 Решаем первое уравнение как самое обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант, учитывая, что член c равен 4k
D=49² - 4*4*4*k = 49² - 64k D≥0, k≤49²/64, k≤37,515625 (Дискриминант должен быть неотрицательным, чтоб был хотя бы один корень) Находим корни в общем виде, с неизвестным пока дискриминантом. x₁ = (-49-√D)/8, x₂ = (-49+√D)/8 Подставляем эти корни во второе уравнение 12( (-49-√D)/8) + 8 ((-49+√D)/8) = -95 -147 - 3√D - 98 + 2√D = - 190 -√D = 55 √D = - 55 (такого быть не может, корень из любого числа неотрицателен). Но при возведении в квадрат получаем D = (-55)² = 3025 Подставляем это значение в выражение для дискриминанта, полученное в самом начале решения D= 49² - 64k = 3025 Отсюда находим k k = - 624/64 = - 39/4 И это значение k соответствует условию неотрицательности дискриминанта k= - 39/4 ≤ 37,515625
Проверка Подставляем значение √D = - 55 в формулы для корней. x₁ = (-49+55)/8 = 3/4 x₂ = (-49-55)/8 = - 13 12*(3/4) + 8*(-13) = - 95
Все сходится! Надо учесть, что при вычислении первого корня берется - √D, то есть + 55, а для второго корня, наоборот +√D, то есть -55
2х (2-х) больше и равно 0
x є [0;2]