Объяснение:
Для начала найдем область определения функции, и ее потенциальные точки разрыва
1)D(f)=R, точек разрыва нет
2) проверим функцию на четность, очевидно функция четная, т.к. при подстановке вместо икс минус икс функция вида не изменит.
3) найдем нули функции и знак функции на полученных интервалах, для этого разложим функцию на составляющие x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)
Приравняем это к нулю, тогда x=1 x=-1
Исследуем знак функции на промежутках от минус бесконечности до минус 1, от минус 1 до 1, и от 1 до +бесконечности. Для этого подставим любую точку из промежутков и получим знаки +-+ (значит на промежутке от -беск до -1 и от 1 до+беск, функция выше оси Ох, на промежутке -1 до 1 функция ниже оси Ох)
приравняв к нулю икс, получим игрик равный -1
4)найдем ассимптоты, так как точек разрыва нет, то и вертикальных ассимптот нет, найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим предел
стремится к бесконечности, а значит ассимптот нет
5)Исследуем точки экстремума и интервалы монотонности, тогда найдем производную
4x³ и приравняем ее к нулю 4x³=0, откуда x=0. Найдем знаки слева и справа от нуля, слева минус справа плюс, значит слева от нуля функция убывает, а справа возрастает. Т.к. 0 принадлежит области определения функция, то подставим его в изначальное уравнение, получим -1. Точка (0,-1) - точка экстремума, т.к. в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума
6) найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную - производную от производной = 12x^2. приравняем к нулю и вновь получим 0, найдем знаки слева и справа, с обеих сторон +, значит функция выпукла вниз на всей области определения, и точка 0 не является точкой перегиба
7) нужно построить график по всем значениям которые мы получили
Дано, что катер за 2 часа по течению и 3 часа против течения 150 км;
за 4 часа по течению на 12 км меньше, чем за 6 часов против течения.
Найти собственную скорость катера.
Решение. Пусть x — расстояние, пройденное за 1 час по течению, y — расстояние, пройденное за 1 час против течения.
Составим систему уравнений:
Решим её, методом подстановки, например:
2x + 3y = 150
2x = 150 – 3y
2*(150 – 3y) – 12 = 6y
300 – 6y – 12 = 6y
-12y = -288
y = 24 ___
2x + 3*24 = 150
2x = 78
x = 39 ___
Получается, U по течению = 39 км/час, U против течения = 24 км/час.
Формула нахождения собственной скорости:
U собств. = (U по теч. + U против теч.) / 2
U собств. = (39+24)/2 = 31.5 км/час
ответ: 31.5 км/час
Т.к. на ноль делить нельзя, то точки х=0 и х=2 выкидываем
Поскольку х⁴ всегда больше нуля, то должно выполняться
Определяем знаки каждого множителя числителя и знаменателя
(⁰ - это незакрашенная точка, ее не берем, * - закрашенная точка, ее берем):
1) х
- +
--------------------------------------------------₀--------------------------------------------------->
0
2) (x-2)
- +
----------------------------------------------------------------₀------------------------------------>
2
3) (x-4)
- +
------------------------------------------------------------------------------*---------------------->
4
4) (x+4)
- +
----------------------------*------------------------------------------------------------------------->
-4
Определяем знаки всего выражения:
+ - + - +
----------------------------*-----------------₀---------------₀-------------*------------------------->
-4 0 2 4
В ответ выписываем положительные интервалы.
ответ: (-∞;4]U(0;2)U[4;∞)
(смотри внимательно, не перепутай круглые и квадратные скобки)
Примечание: необязательно рассматривать каждый множитель. Можно найти точки в которых они равны нулю (это будут -4, 0, 2, 4). Ометить их на числовой прямой и определить знаки в каждом интервале. Т.е. сразу получаем последний рисунок. Так даже проще, тупанул я немножно)))
(x-5)√(x²-4)≤0
1) Найдем область определения. Корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, значит
x²-4≥0
(x-2)(x+2)≥0
Решаем ур-е (x-2)(x+2)=0
Его решения: -2 и 2
Отмечаем их на числовой прямой и определяем знаки
+ - +
-----------------------------*---------------------*------------------------------------->
-2 2
2) Т.к. значение корня всегда неотрицательно, значит
x-5≤0
x≤5
С учетом области определения, получаем ответ.
ответ: (-∞;-2]U[2;5]