Question

Вчем отличие квадратного корня от арифметического квадратного корня?

Answer 1

Квадр. корень из числа  а  - это число, квадрат которого равен  а, то есть это решение уравнения  $x^2=a$  .
                     Например, 
                                        $x^2=25,\; \to \; x_1=5,\; x_2=-5$    ,так как
$5^2=25,\; (-5)^2=25$  .

В школе, чтобы не возникало путаницы, принято вводить понятие арифметический квадратный корень.И только его используют в школьном курсе математики.
Арифметическим квадратным корнем из числа  а называется НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, квадрат которого равен  а.

$\sqrt{a} \geq 0\; \to \; (\sqrt{a})^2=a,\;a\geq0$

Cамо выражение под знаком корня тоже должно быть неотрицательным, т.к. при возведении в квадрат хоть неотрицательного, хоть отрицательного числа всё равно получим неотрицательное (то есть либо положительное, либо ноль).
   При решении квадр. уравнений второй отрицательный корень получаем из тех соображений, что минус пишется перед корнем, а сам корень  неотрицателен.

$x^2=25\\\\x_{1,2}=\pm\sqrt{25}=\pm 5\\\\x_1=\sqrt{25}=5,\; x_2=-\sqrt{25}=-5$

Проверка.   $5^2=25,\; (-5)^2=25$

$x^2=7\\\\x_1=\sqrt7,x_2=-\sqrt7\\\\(\sqrt7)^2=7,(-\sqrt7)^2=7$