Question

Как решить тригонометрическое уравнение (, sinx=cos7x ?

Answer 1

$\sin x=\cos 7x$
Воспользуемся формулой приведения: $\sin x=\cos( \frac{\pi}{2} -x)$
$\cos( \frac{\pi}{2} -x)-\cos 7x=0$
В левой части уравнения от разности косинусов перейдем к произведению.
$-2\sin \dfrac{ \frac{\pi}{2}-x+7x }{2} \sin \dfrac{\frac{\pi}{2}-x-7x}{2} =0\\ \\ \\ 2\sin \bigg(3x+\dfrac{\pi}{4}\bigg) \sin \bigg(2x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$\sin \bigg(3x+\dfrac{\pi}{4}\bigg)=0\\ \\ 3x+\dfrac{\pi}{4}=\pi k,k \in \mathbb{Z}\,\,\, \big|-\dfrac{\pi}{4}\\ \\ 3x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\,\, \big|\, :3\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}$

$\sin\bigg(2x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)=0\\ \\ 2x-\dfrac{\pi}{4}=\pi k,k \in \mathbb{Z}\,\,\, \big|\,+\dfrac{\pi}{4}\\ \\ 2x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\,\, \big|\, :2\\ \\ x=\dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z}$