Эта система немного сложнее и проще предыдущей.
Рассмотрим первое уравнение:
7y + 21x = 35 /7
y + 3x = 5
y = 5 - 3x
Мы выразили у, теперь подставим вместо него полученное выражение:
6x - 3xy = 54
6x - 3x (5-3x) = 54
Раскроем скобки:
6x - 15x + 9x² = 54
9x² - 9x - 54 = 0 /9
x² - x - 6 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение (решу двумя : через дискриминант и через теорему Виета)
1. x² - x - 6 = 0
x₁ + x₂ = 1 | x₁ = 3
| по теореме Виета =>
x₁ * x₂ = -6 | x₂ = -2
2. x² - x - 6 = 0
D = 1 + 24 = 25 (5²)
x₁ = (1 + 5) / 2 = 6/2 = 3
x₂ = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2
В этом пункте можно выбрать любой удобный решения. Итак, мы получили два х, а значит и у будет также два. Подставим оба значения х, чтобы найти значение у:
X₁. y = 5 - 3x
y = 5 - 3*3
y = 5 - 9
y = -4
X₂. y = 5 - 3x
y = 5 + 3*2
y = 5 + 6
y = 11
Таким образом у нас получилось две пары корней.
ответ: х₁ = 3; y₁ = -4 и x₂ = -2; y₂ = 11
Все таки не удержусь и для начала покажу красивый без метода мат индукции, а потом уже с методом мат. индукции.
Первый .(собственно то, как, возможно, была выведена эта формула)
Обозначим сумму ряда за S:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+n(n+1)!/2^n = S
Рассмотрим также вс сумму S1:
2!/2 +3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+1)!/2^n = S1
Тогда не трудно убедится, что
S+2S1 = 3*2!/2 + 4*3!/2^2 + 5*4!/2^3+...+(n+2)(n+1)!/2^n =
= 3!/2 + 4!/2^2+ 5!/2^3+...+(n+2)!/2^n = 2*( 3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+2)!/2^(n+1) =
= 2(S1 -2!/2 + (n+2)!/2^(n+1))
То есть получаем равенство:
S+2S1 = 2S1 -2! + (n+2)!/2^n
Замечаем, что 2S1 сокращается:
S = (n+2)!/2^n - 2
Что и требовалось доказать.
Второй (метод математической индукции)
Проверим, что тождество верно для n = 1:
1*2!/2 = 3!/2 - 2
1 = 3 - 2 - верно.
Предположим, что утверждение справедливо для n = t, то есть:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t = (t+2)!/2^t - 2
Докажем его справедливость для n = t+1
То есть нужно доказать, что:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = (t+3)!/2^(t+1) - 2
Нетрудно заметить, что:
1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) =
= (1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) =
= (t+2)!/2^t - 2 + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = 2(t+2)!/2^(t+1) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) - 2 =
= (2+t+1)*(t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)((t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)!/2^(t+1) - 2
А значит, по принципу математической индукции, данное тождество доказано.
