Находим экстремумы функции. Берём дифференциал: f'(x) = 4x - 2 находим точку экстремума: 4x - 2 = 0 x = 0.5 это точка, в которой функция принимает минимальное значение (вершина параболы)
Наибольшее будет в точке x = 3 (наиболее удалённая точка от вершины x=0.5)
Таким образом наименьшее значение функции f(0.5) = -0,9375, наибольшее f(3)=75
1) Приведем левую и правую часть к функции cos 2x. sin^4 x + cos^4 x = sin^4 x + 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x = = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 1/2*4sin^2 x*cos^2 x = 1 - 1/2*sin^2 (2x) = = 1/2*(2 - sin^2 (2x)) = 1/2*(1 + cos^2 (2x)) cos 4x = 2cos^2 (2x) - 1 Подставляем 1/2*(1 + cos^2 (2x)) = 2cos^2 (2x) - 1 1 + cos^2 (2x) = 4cos^2 (2x) - 2 3 = 3cos^2 (2x) cos^2 (2x) = 1 a) cos 2x = -1; 2x = pi + 2pi*k; x1 = pi/2 + pi*k b) cos 2x = 1; 2x = 2pi*n; x2 = pi*n
2) 5sin 2x + 12cos 2x = (2a-1) Переходим к аргументу х 10sin x*cos x + 12cos^2 x - 12sin^2 x = (2a-1)*cos^2 x + (2a-1)*sin^2 x (2a-1+12)*sin^2 x - 10sin x*cos x + (2a-1-12)*cos^2 x = 0 Делим всё на cos^2 x (2a+11)*tg^2 x - 10tgx + (2a-13) = 0 Получили квадратное уравнение относительно tg x. Оно не имеет решений, если D < 0 D = 10^2 - 4(2a+11)(2a-13) = 100 - 16a^2 + 16a + 572 < 0 Разделим всё на -16. При этом знак неравенства поменяется. a^2 - a - 42 > 0 (a - 7)(a + 6) > 0 a < -6 U a > 7
1)Найти область определения функции выражений с корнем четной степени нет знаменатель не равен нулю, значит х-1 не равен 0 значит х - не равен 1 область определения х є (-беск;1) U (1:+беск)
2)Чётность, нечётность функции y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2 y(-x)=(-x+2)^3/(-x-1)^2 не равно y(x) y(-x)=(-x+2)^3/(-x-1)^2 не равно -y(x) y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2 не является ни четной ни нечетной
3)Непрерывность y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2 имеет точку разрыва при х=1
4)Критические точки y(x)=(x+2)^3/(x-1)^2 y'(x)={3*(x+2)^2*(x-1)^2-(x+2)^3*2*(x-1)}/(x-1)^4 = ={3*(x-1)-2*(x+2)}*(x+2)^2/(x-1)^3= =(3x-3-2x-4)*(x+2)^2/(x-1)^3= =(x-7)*(x+2)^2/(x-1)^3
y'(x)=0 при (x-7)*(x+2)^2/(x-1)^3=0 х=-2 x=1 х=7 - критические точки
5)Интервалы возрастания и убывания функции в точках x=1 и х = 7 производная меняет знак
интервалы возрастания х є (7; +беск) U (-2;1) U (-беск ;-2) интервалы убывания х є (1;7)
6)Экстремумы функции в точках x=1 и х = 7 производная меняет знак x=1 - локальный максимум х = 7- локальный минимум
7)Критические точки второго рода x=1 - критические точки 2 рода
8)Интервалы выпуклости и вогнутости функции надо считать вторую производную - лень
9)Точки перегиба то же самое
10)Асимптоты вертикальная асимптота у=1 наклонная асимптота ищем в виде у=ах+в а = lim(y)/x=1 b=lim(y-a*x)=8
f'(x) = 4x - 2
находим точку экстремума:
4x - 2 = 0
x = 0.5
это точка, в которой функция принимает минимальное значение (вершина параболы)
Наибольшее будет в точке x = 3 (наиболее удалённая точка от вершины x=0.5)
Таким образом наименьшее значение функции f(0.5) = -0,9375, наибольшее f(3)=75