Question

Сложная : какие значения сложная : какие значения может принимать sin ( a+ b + g)если при этих a,b ,g многочлен от x : x^4 + 2^(3sin a) x^2+x(под корнем; 2^(1-sin b) - cosg ) + sin^2b+ cos^2g является квадратом некоторого многочлена относительно х? с факультета вмк.я ее не смогла решить. сложная

Answer 1

Рассмотрим сам многочлен в общим виде , для этого откинем $sinb;sina;cosg$  
$x^4+ax^2+bx+c$ по условию он должен быть, квадратом некого многочлена. 
Заметим  что в этом многочлене есть $bx$ , а он не возможен при квадрате , и заметим то что старшая степень равна $4$. 
Тогда наш многочлен есть двучлен  вида $(x^2+t)^2=x^4+2tx^2+t^2$. Что есть частный случаи многочлена. 
Тогда запишем     $x^4+2^{3sina}*x^2+x\sqrt{2^{1-sinb}-cosg}+sin^2b+cos^2g=(x^2+a)^2$
То есть  
$2^(1-sinb)=cosg\\ t^2=sin^2b+cos^2g$
Заметим что  $sin^2b+cos^2g \neq 1$ так как оно противоречит условию $2^(1-sinb)=cosg$  что не имеет решений. 
$t^2=sin^2b+cos^2g$ 
Рассмотрим функцию  $f(a;b)=sin^2b+cos^2g$ очевидно  $max=2\\ x=\frac{\pi}{2};y=-\pi$. 
То есть наше значение      $t \leq \sqrt{2}$. Что согласуется  с значение 
$8^{sina} \leq 8\\ sina \leq 1$. 
Заметим что при   $(x^2+\sqrt{2})^2=x^2+2\sqrt{2}+2$  
 Выше было сказано при каких значениях это справедливо ,  заметим что 
 $8^{sina}=2\sqrt{2}\\ sina=\frac{1}{2}\\ a=\frac{\pi}{6}$ 
  Тогда $sin(a+b+g)=sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}-\pi)=sin(\frac{-2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
Так же с обратным значением оно равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
 ответ $+-\frac{\sqrt{3}}{2}$
    Сам многочлен $(x^2+\sqrt{2})^2$