Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=5x+14-x^2 и y=0

Answer 1

$\int\limits_{-2}^7(5x+14-x^2)dx=\left\frac{5}{2}x^2+14x-\frac{1}{3}x^3\right]^7_{-2}\\\\=\frac{5}{2}\cdot7^2+14\cdot7-\frac{1}{3}\cdot7^3-\left[\frac{5}{2}\cdot(-2)^2+14\cdot(-2)-\frac{1}{3}\cdot(-2)^3\right]\\\\=\frac{245}{2}+98-\frac{343}{3}-10+28-\frac{8}{3}=122,5+116-\frac{351}{3}\\=238,5-117=121,5$

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Итак, у нас есть две линии: y = 5x + 14 - x^2 и y = 0. Мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя линиями.

Чтобы найти площадь, нам нужно найти пределы интегрирования. Для этого мы рассмотрим точки пересечения этих двух функций.

Сначала найдем точки пересечения, приравняв y в обоих уравнениях:

0 = 5x + 14 - x^2

Теперь выразим это уравнение в виде квадратного уравнения:

x^2 - 5x - 14 = 0

Решим это квадратное уравнение, чтобы найти значения x:

(x - 7)(x + 2) = 0

x = 7 или x = -2

То есть, у нас есть две точки пересечения: (7,0) и (-2,0).

Теперь, чтобы найти пределы интегрирования, нам нужно найти x-координаты этих двух точек.

Минимальная x-координата -2, а максимальная x-координата 7.

Теперь мы готовы к интегрированию.

Формула для вычисления площади под кривой y=f(x) на промежутке от a до b имеет вид:

S = ∫[a, b] f(x) dx

В нашем случае, функция f(x) = y = 5x + 14 - x^2, a = -2, и b = 7.

Теперь выполним интегрирование:

S = ∫[-2, 7] (5x + 14 - x^2) dx

S = ∫[-2, 7] (5x + 14) dx - ∫[-2, 7] x^2 dx

Прежде всего, вычислим первый интеграл:

∫(5x + 14) dx = [5/2*x^2 + 14x]

Теперь найдем значения интеграла в точках пределов интегрирования:

[5/2*7^2 + 14*7] - [5/2*(-2)^2 + 14*(-2)]

[25/2*49 + 98] - [5/2*4 + 14*(-2)]

(25/2*49 + 98) - (5/2*4 + 14*(-2))

(1225/2 + 98) - (10/2 + 14*(-2))

(1225/2 + 98) - (10/2 - 28)

(1225/2 + 98) - (10/2 - 28)

(1225/2 + 98) - (10 - 56)

1225/2 + 98 - 10 + 56

1225/2 + 144 - 10

1225/2 + 134

1225/2 + 134

(1225 + 268)/2

1493/2

Итак, значение первого интеграла равно 1493/2.

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫x^2 dx = [1/3*x^3]

Теперь найдем значения интеграла в точках пределов интегрирования:

[1/3*7^3] - [1/3*(-2)^3]

[1/3*343] - [1/3*(-8)]

343/3 - (-8/3)

343/3 + 8/3

(343 + 8)/3

351/3

Итак, значение второго интеграла равно 351/3.

Теперь найдем разность между первым и вторым интегралом:

(1493/2) - (351/3)

Чтобы вычислить эту разность, нужно иметь общий знаменатель:

(1493/2)*(3/3) - (351/3)*(2/2)

(4479/6) - (702/6)

4479/6 - 702/6

(4479 - 702)/6

3777/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5x + 14 - x^2 и y = 0, равна 3777/6.

Надеюсь, этот ответ понятен и полезен для тебя, и он поможет разобраться с задачей. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!