Question

Для любых значений параметров а и b найти решение системы

Answer 1

$x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\$ 
 
 отнимем  и  про суммируем 
 $x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\ x-y-y\sqrt{x^2-y^2} + x\sqrt{x^2-y^2}=a-b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\ x-y\sqrt{x^2-y^2} + y-x\sqrt{x^2-y^2}=a+b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\ (x-y)(1+\sqrt{x^2-y^2})=a-b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\ (x+y)(1-\sqrt{x^2-y^2})=a+b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\$  
умножим                    
 
 $(x-y)(1+\sqrt{x^2-y^2})=a-b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\ (x+y)(1-\sqrt{x^2-y^2})=a+b\sqrt{1-(x^2-y^2)}\\\\ (x^2-y^2)(1-x^2+y^2)=a^2-b^2(1-x^2+y^2)\\\\ x-y=n\\ x+y=t\\\\ n(1+\sqrt{nt})=a-b\sqrt{1-nt}\\ t(1-\sqrt{nt})=a+b\sqrt{1-nt}\\\\ nt(1-nt)=a^2-b^2(1-nt)\\ nt=z\\ z(1-z)=a^2-b^2(1-z)\\$  
Квадратное уравнение  относительно $z$     
 
  
 $z=\frac{\sqrt{-4a^2+b^4+2b^2+1}-b^2+1}{2}\\ z=\frac{-\sqrt{-4a^2+b^4+2b^2}-b^2+1}{2}\\\\ 2z=-b^2+1\\ 2(x^2-y^2)=1-b^2\\ x^2-y^2=\frac{1-b^2}{2}\\$ 

 $x^2=\frac{1-b^2}{2}+y^2\\\\ x=\sqrt{\frac{1-b^2}{2}+y^2}\\ \sqrt{\frac{1-b^2}{2}+y^2}-y\sqrt{\frac{1-b^2}{2}}=a\\ \frac{1-b^2}{2}=w\\ \sqrt{w+y^2}-y\sqrt{w}=a\\ w+y^2=a^2+2ay\sqrt{w}+y^2w\\ y^2(w-1)+2ay\sqrt{w}+a^2-w=0\\ D=4a^2*w-4(w-1)*(a^2-w)=\sqrt{4(w^2-w+a^2)}\\ y=\frac{-2a\sqrt{w}+2\sqrt{w^2-w+a^2}}{2w-2}=\frac{-2a\sqrt{\frac{1-b^2}{2}+2\sqrt{\frac{1-b}{2}^2-\frac{1-b}{2}+a^2}}}{-b^2-1}\\\\$ 

 выражаем $x^2-y^2=1-b^2$ зная $y$