Question

Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|< 1 для всех действительных x таких, что |x|≤1 . верно ли, что |p(2)|<

Answer 1

$P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\$ 
 оценим каждое слагаемое 
 $P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}-1\\\\$ 
положим что 
$a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\\\ P(1)=k*a_{k}<1\\\\ a_{k}<\frac{1}{k}\\\\ k\in N\\\\$ 
видно что    $a_{k}<1\\\\$     
 $P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} \leq$$2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k}$ 
 $a=1\\\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n\\\\\ 2^{2n}-2*2^n+20\\\\ D<0\\$ 
 а так как оценка идет сверху то  она и справедлива снизу , верно