Question

Сколько решений в целых числах имеет уравнение m^2-mn+n^2 = m+n

Answer 1

$m^2-mn+n^2=m+n\\ (m+n)^2-3mn=m+n\\ (m+n)(m+n-1)=3mn\\\\$ 
Правая часть делиться на $3$ ,   значит и левая 
         
Положим что 
 $m+n=3x$   
  
 $x(3x-1)=mn\\ m+n=3x\\\\ 3x^2-x-mn=0\\ D=1+12mn\\ x=\frac{1+\sqrt{1+12mn}}{6}; \ \ x \in N\\ x=\frac{1-\sqrt{1+12mn}}{6} ; \ \ x\in N\\\\ mn=1\\ mn=0\\$ 
откуда      решения 
 $m=0;0;1;1;2\\ n=0;1;0;2;1$ 
 
 
 соответственно