Question

Решить системы уравнений. система х³+х³у³+у³=17 х+ху+у=5 и вот эта система х²у+ху²=30 х³+у³=35

Answer 1

№1.

Обозначим  (х+у)= u,   (xy)=v
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)

Выразим из второго уравнения
v=5-u
и подставим в первое уравнение:
(5-u)³+u³-3u·(5-u)=17,
125-75u+15u²-u³+u³-15u+3u²=17
18u²-90u+108=0
u²-5u+6=0
D=5²-4·6=25-24=1
u₁=(5-1)/2=2     или  u₂=(5+1)/2=3
тогда
v₁=5-u₁=5-2=3  или  v₂=5-u₂=5-3=2

или

В первой системе выразим y=2-x из первого уравнения и подставим во второе:
x·(2-x)=3  или  х²- 2х+3=0 уравнение не имеет корней, так как D=4-12<0

Во второй системе выразим y=3-x и подставим во второе:
х(3-х)=2,
х²-3х+2=0
D=(-3)²-4·2=9-8=1
x₁=(3-1)/2=1  или х₂ = (3+1)/2=2
тогда
у₁=3-х₁=3-1=2    или у₂=3-х₂=3-2=1
ответ. (1;2) (2;1)

№ 2
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)
х²у+ху²=ху(х+у)

Обозначим  (х+у)= u,   (xy)=v
$\left \{ {{uv=30} \atop {u(u ^{2}-3v) =35}} \right.$

Заменим uv на 30 во втором уравнении
u³-3uv=35
u³-3·30=35
u³=35+90
u³=125
u=5
тогда v=30/u=30/5=6
Решаем систему
$\left \{ {{x+y=5} \atop {xy=6}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=5-x} \atop {x(5-x)=6}} \right.$

Решаем второе уравнение х²-5х+6=0
(см решение в № 1)
х₁=2        или      х₂=3
у₁=5-2=3  или      у₂=5-3=2

Отевт (2;3) (3;2)

Answer 2

1)x^3+y^3=17-x^3*y^3
  x+y=5-xy
(x+y)(x^2-xy+y^2)=17-x^3*y^3
(x+y)((x+y)^2-3xy)=17-(xy)^3
xy=t
x+y=5-t
(5-t)((5-t)^2-3t)=17-t^3
(5-t)(t^2-13t+25)=17-t^3
5t^2-65t+125-t^3+13t^2-25t=17-t^3   (-t^3  cокращается)
18t^2-90t+108=0 (делим  на 18)
t^2-5t+6=0
По  виету корни:
t1=2
t2=3
1)t=2
xy=2
x+y=3
Это  обратная теорема виета:
Подбором очевидно:
x=1  x=2
y=2  y=1
2)xy=3
    x+y=2
Тут  я чую решений  нет. Но  проверю:
x(2-x)=3
x^2-2x+3=0
(x-1)^2=-2 Как  я и думал :)
ответ:(1;2),(2;1)

2)x^2y+xy^2=30
  x^3+y^3=35
Ого  что то интересное умножим  на 3   первое уравнение
3x^2y+3xy^2=90
x^3+y^3=35
Сложим  их :)
x^3+3x^2y+3y^2x+y^3=125
Слева   полный куб
(x+y)^3=125=5^3
x+y=5
в 1   уравнении
(x+y)xy=30
x+y=5
Деля  1  на 2
xy=6
x+y=5
Тут очевидно  подбором
x=2  y=3
x=3 y=2
ответ:(2;3),(3;2)