Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
а) а = 1, х₂ = 14, с = -140 Найти b и x₁.
х² + bx - 140 = 0,
x₂ = 14 - корень уравнения, подставим его в уравнение, получим верное равенство
14² + b·14 - 140 = 0
разделим все слагаемые на 14
14 + b - 10=0
b=10 - 14
b=4
По теореме Виета сумма корней приведенного ( коэффициент а=1) квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
х₁ + х₂ = -4
х₁ + 14 = -4
х₁=-18
ответ. b = 4; x₁ = - 18
б)a=1, x2 =-30, b=-18 Найти с и х₁.
х² - 18x + c = 0,
x₂ = - 30 - корень уравнения, подставим его в уравнение, получим верное равенство
(-30)² - 18·(-30) + c = 0
900 +540+c=0
c = - 1440
По теореме Виета произведение корней приведенного ( коэффициент а=1) квадратного уравнения равно свободному коэффициенту
х₁ · х₂ = -1440,
х₁ (-30) = -1440,
х₁=(-1440) : (-30)
ответ. с =- 1440; x₁ = 48