Алгебра: Решите уравнения sin 4 x+cos^2 2x=2

Решите уравнения sin 4 x+cos^2 2x=2

👇

Ответ:

polinaxt1

09.05.2022

Так как синус и косинус ограничены, то:
$-1 \leq \sin \alpha \leq 1
\\\
0 \leq \cos^2 \beta \leq 1$

Так как в правой части стоит число 2, то значит каждое из двух слагаемых в левой части принимает значение 1.

$\sin4x=1
\\\
4x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n
\\\
x= \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{2} , \ n\in Z$

$\cos^22x=1
\\\
\cos2x=\pm1
\\\
2x= \pi k
\\\
x= \frac{ \pi k}{2} , \ k\in Z$

ответ: $\frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{2}$ и $\frac{ \pi k}{2}$ , где n и k - целые числа

4,5(33 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

emilylund829

09.05.2022

0,5+m

Объяснение:

Для того, чтобы найти требуемое значение логарифма log49(28), которого обозначим через L, воспользуемся следующей формулой loga(b / с) = logab / logaс (где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0), которая называется формулой перехода к новому основанию.

В нашем примере новым основанием будет число 7, так как дано log7(2) = m. Итак, имеем L = log7(28) / log7(49). Поскольку 28 = 7 * 22 и 49 = 72, то используя следующие формулы, преобразуем полученное выражение: loga(b * с) = logab + logaс (где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) и logabn = n * logab (где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n – любое число). Получим: L = log7(7 * 22) / log7(72) = (log7(7) + log7(22)) / log7(72) = (log7(7) + 2 * log7(2)) / (2 * log7(7)).

Очевидно, что log7(7) = 1. Тогда, имеем: L = (1 + 2 * m) / (2 * 1) = 1 : 2 + 2 * m : 2 = 0,5 + m.

4,7(50 оценок)

Ответ:

doc9w

09.05.2022

Пусть в сектор $\mathrm{AOB}$ вписан прямоугольник $\mathrm{KLMN}$ . $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ - середины сторон $\mathrm{KL}$ и $\mathrm{MN}$ соответственно. Так как прямоугольник симметричен оси симметрии сектора, то две его стороны перпендикулярны этой оси, а две другие стороны - параллельны этой оси.

Так как прямоугольник симметричен оси симметрии сектора, то:

$\mathrm{\angle\ AOC=\angle\ BOC=\alpha}$

Проведем луч $\mathrm{ON}$ , составляющий с осью симметрии сектора угол . Зададим ограничения на х: $x\in[0;\ \alpha ]$

Найдем сторону прямоугольника, перпендикулярную оси симметрии сектора.

Рассмотрим треугольник $\mathrm{OQN}$ . Запишем соотношение для синуса угла х:

$\sin x=\mathrm{\dfrac{QN}{ON}}$

Заметим, что $\mathrm{ON}$ соответствует радиусу сектора. Тогда, выражение для $\mathrm{QN}$ примет вид:

$\mathrm{QN}=R\cdot\sin x$

Так как $\mathrm{QN}$ - половина стороны $\mathrm{MN}$ , то найдена первая сторона прямоугольника:

$\mathrm{MN}=2R\cdot\sin x$

Найдем сторону прямоугольника, параллельную оси симметрии сектора. Представим ее длину в виде:

$\mathrm{LM=KN=PQ=OQ-OP}$

Длину найдем из того же прямоугольного треугольника $\mathrm{OQN}$ , записав выражение для косинуса угла :

$\cos x=\mathrm{\dfrac{OQ}{ON}}$

Выражаем $\mathrm{OQ}$ :

$\mathrm{OQ}=R\cdot \cos x$

Длину $\mathrm{OP}$ найдем из прямоугольного треугольника $\mathrm{OPK}$ . Запишем выражение для тангенса угла $\alpha$ :

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{\dfrac{PK}{OP} }$

Откуда:

$\mathrm{OP=\dfrac{PK}{\mathrm{tg}\alpha} }$

Так как $\mathrm{PK=QN}$ , то:

$\mathrm{OP}=\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}$

Таким образом, найдена вторая сторона прямоугольника:

$\mathrm{LM}=R\cdot \cos x-\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}$

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

$S=\mathrm{MN\cdot LM}$

$S=2R\cdot\sin x\cdot\left(R\cdot \cos x-\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\sin x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

Найдем производную:

$S'=2R^2\cdot(\sin x)'\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)+2R^2\cdot\sin x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)'$

$S'=2R^2\cdot\cos x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)+2R^2\cdot\sin x\cdot\left(-\sin x-\dfrac{\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos^2 x-\dfrac{\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}-\sin^2 x-\dfrac{\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos^2 x-\sin^2 x-\dfrac{2\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

Приравняем производную к нулю:

$2R^2\cdot\left( \cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=0$

$\cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha }=0$

$\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha }= \cos2x$

$\sin 2x= \cos2x\mathrm{tg}\alpha$

$\mathrm{tg}2x= \mathrm{tg}\alpha$

Учитывая ограничения $x\in[0;\ \alpha ]$ получим, что:

$x=\dfrac{\alpha }{2}$

Проверим, является ли эта точка точкой экстремума.

Найдем значение производной при x=0 :

$S'=2R^2\cdot\left( \cos0-\dfrac{\sin 0}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\left( 1-0\right)=2R^2$

Найдем значение производной при $x=\alpha$ :

$S'=2R^2\cdot\left( \cos2\alpha -\dfrac{\sin 2\alpha }{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\left( \cos2\alpha -\dfrac{2\sin \alpha \cos^2\alpha }{\sin\alpha}\right)=$

$=2R^2\cdot\left( 2\cos^2\alpha-1 -2\cos^2\alpha \right)=2R^2\cdot\left( -1 \right)=-2R^2$

При переходе через точку $x=\dfrac{\alpha }{2}$ производная меняет знак с плюса на минус. Значит, это точка максимума.

Найдем значение максимума:

$S\left(\dfrac{\alpha }{2}\right)=2R^2\cdot\sin \dfrac{\alpha }{2}\cdot\left( \cos \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\sin \dfrac{\alpha }{2}}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=$

$=R^2\left( 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{2\sin^2 \dfrac{\alpha }{2}}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=R^2\left( \sin \alpha-\dfrac{2\cdot\dfrac{1-\cos\alpha }{2}} {\mathrm{tg}\alpha}\right)=$