F(x)=-x³+3x²-4. 1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞). 2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная. 3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. 4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞. 5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x. 6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2. 7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума. 8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4). 9. Строим график (см. в приложении)
1. Проще всего разложить 1998 на множители, и подбором найти решение. 1998 = 2 * 999 = 2 * 3^2 * 111 = 2 * 3^3 * 37 Очевидно, что 37 - один из делителей S(a) [ясно же, что это не цифра :)] - Если S(a) = 37, то П(a) = 2 * 3 * 3 * 3 = 54 Подумаем, как бы заполучить число поменьше с такими суммой и произведением. Ясно, что придется дописывать кучу единиц, логично их дописывать в начало числа, а все остальные цифры сделать побольше, чтобы сэкономить количество разрядов. Не-единицами в нашем случае будут 6 и 9 (их сумма равна 15), тогда надо дописать 37 - 15 = 22 единицы, т.е. кандидат на искомое число - это 111111111111111111111169 - Если S(a) > 37 (т.е. S(a) >= 2 * 37 = 74), то не-единиц в записи числа может быть не более четырех (хотя, как уже понятно, их должно быть меньше). Даже если бы это были четыре девятки, то единиц пришлось бы дописать не менее 74 - 4 * 9 = 38, и получающиеся числа содержали бы не менее 38 цифр - и были бы гарантированно больше, чем уже найденное число, в записи которого "всего лишь" 24 цифры. ответ 1. 111111111111111111111169
2. Пойдем тем же путем. 2010 = 2 * 3 * 5 * 67 Сумма цифр должна делится на 67, пусть она равна 67, тогда произведение равно 2 * 3 * 5 = 30. Тогда есть такое число с S(a) * П(a) = 2010: 1111... (57 единиц) ... 111235 = X Похоже, что оно и будет минимальным числом (по таким же причинам, что и в первом случае). Но даже если это и не так, то минимальное число, удовлетворяющее условию S(a) * П(a) = 2010 всё равно существует: достаточно проверить числа от 1 до X - 1, найти все числа, удовлетворяющие равенству, и выбрать из них наименьшее. ответ 2. да, имеется.
P.S. Конечно же, для любого натурального N есть наименьшее решение уравнения S(a) * П(a) = N. Как уже было показано, достаточно найти одно решение, из чего следует, что гарантированно найдется наименьшее решение. Но есть универсальное решение, подходящее для любых N - это число, состоящее из N единиц (тогда S(a) = N, П(a) = 1). Поэтому решение задачи имеется при любых N.
х=
y=4*1-8*1=-4
⇒ вершина в т.(1;-4), ветви параболы вверх
парабола проходит через точки:
(0,5;-3);(1.5;-3);(0;0);(2;0)