Question

Сумма квадратов членов бесконечной прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов. найдите второй член прогессии.

Answer 1

Из условия имеем систему:    (ОДЗ: |q|<1)

$\frac{3b_{1}}{1-q}\ =\ \frac{b_{1}^2}{1-q^2},$

$\frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)}\ =\ \frac{b_{1}^4}{1-q^4}.$

Или:

$\frac{b_{1}}{1+q}\ =\ 3,$

$\frac{b_{1}^2}{1+q^2}\ =\ \frac{18}{5}.$

Возведем первое в квадрат и поделим на второе:

$\frac{1+q^2}{(1+q)^2}\ =\ \frac{5}{2},\ \ \ \ 5+10q+5q^2=2+2q^2,\ \ \ \ 3q^2+10q+3=0,\ \ D=64$

$q_{1}=-\frac{1}{3},\ \ \ \ q_{2}=-3$ (не входит в ОДЗ).

Находим первый член прогрессии:

$b_{1}=3(1+q)=2.$

Тогда второй член прогрессии:

$b_{2}=b_{1}q=-\frac{2}{3}.$

ответ: -2/3.