Question

Найдите корни многочлена p(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении p(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1

Answer 1

Из условия:

$x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1).$

где Q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.

(2х+1) - остаток. Перенесем остаток влево:

$x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4).$

Значит х = -1  и  х = 4    Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:

$x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3.$

$x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57.$

Решив полученную систему, имеем:

а = 12;  b = 9.

Значит исходный многочлен имеет вид:  (сразу приравняем 0)

$x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0$

а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)

И другой вид исходного многочлена:

(х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0

В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.

Устанавливаем первый из интервалов:  (2; 3).  Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).

Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).

Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)

-0,8; 2,3; 3,8.