Question

Найти разность арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, у которого sm: sn= m^2: n^2, где sm-сумма m первых членов , sn-сумма n членов

Answer 1

По известной формуле распишем сумму m и n первых членов арифметической прогрессии:

$S_{m}=\frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}*m,$

$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n.$

Из условия получим следующее уравнение:

$\frac{(2a_{1}+d(m-1))*m}{(2a_{1}+d(n-1))*n}\ =\ \frac{m^2}{n^2}.$

Или, раскрыв пропорцию, получим:

$2a_{1}n+dn(m-1)\ =\ 2a_{1}m+dm(n-1).$

$2a_{1}(n-m)\ +\ d(mn-n-mn+m)\ =\ 0,$

$(n-m)(2a_{1}-d)\ =\ 0.$

Так как $n\neq\ m,$ получим:

$d\ =\ 2a_{1}\ =\ 2.$

ответ: 2.

Answer 2

Пусть  D - разность прогрессии.

Тогда  Sm = (1+1+D*(m-1))*m=(D*m-D+2)*m

Следовательно

(D*m-D+2)*m       m^2                    D*m-D+2      m

=   ,  откуда   =

(D*n-D+2)*n         n^2                     D*n-D+2       n

D*m*n-D*n+2*n=D*m*n-D*m+2*m

D*(m-n)=2*(m-n) .  Поскольку m и n -  разные числа, то D = 2