1. 1 ОДЗ х∈(-∞;+∞), т.к. дан многочлен.
2. с осью ох. у=0, х³-3х²+4=0, х=2, делим х³-3х²+4 на х-2, получаем
(х²-х-2)=(х+1)(х-2), чтобы разложить на множители, предварительно по теореме, обратной теореме Виета, угадали корни, это -1 и 2, итак, точек пересечения с осью ох найдено две (-1;0);(2;0). с осью оу х=0, тогда у=4, точка (0;4)
3. вертикальных нет, наклонные проверим к= предел при х, стремящемся к ∞ f(x)/x равен бесконечности, поэтому нет и наклонных асимптот.
4. y(-x)=-x³-3x²+4 ≠y(x) не является четной, y(-x)≠ -y(x) не является нечетной. это функция общего вида.
5.находим производную и точки экстремума и интервалы монотонности. у'=3х²-6х=0 зх*(х-2)=0; х=0;х=2, исследуя знак производной, получаем, что функция убывает на промежутке [0; 2] и возрастает на каждом из промежутков (-∞;0] и [2;+∞)
___02
+ - + точка х=0- точка максимума, х=2- точка минимума
6.находим вторую производную. 6х-6=0, точка х=1 точка перегиба, т.к. при переходе через нее вторая производная меняет знак с минуса на плюс. 1
- +
На промежутке (-∞;1) график функции выпуклый вверх, а на промежутке (1;+∞) вниз.
(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2)*y-7x+31=0
(x-2)(x^2+2x+4-y)-7(x-2)+17=0
(x-2)(x^2+2x-y-3)=-17
Тк целые числа то возможно 4 варианта тк -17 имеет 4 делителя. (+-17 +-1)
1)x-2=-17 x=-15
x^2+2x-y-3=1
225-30-y-3=1
y=191
2) x-2=1 x=3
9+6-y-3=-17
y=29
3)x-2=17 x=19
361+38-y-3=-1
y=397
4)x-2=-1 x=1
1+2-y-3=17
y=-17
ответ:Целочисленные решения (-15,191);(3,29);(19;397);(1;-17)