Question

Дан квадратный трехчлен , все коэффициенты которого отличны от нуля. если поменять местами коэффициенты a и b, то трехчлен будет иметь один корень. если поменять местами b и c, то трехчлен также имеет один корень. найдите, сколько корней имеет трехчлен . (ответ без решения не засчитываю! )

Answer 1

из условия задачи: $ax^{2}+bx+c=0$

решим систему уравнений, где в одном поменяем a и b, а в другом b и c.

$\left \{ {{bx^{2}+ax+c=0} \atop {ax^{2}+cx+b=0}} \right.$

выразим дискриминант в обоих уравнениях и приравняем к 0, т.к. корень должен быть 1.

$\left \{ {{a^{2}-4bc=0} \atop {c^{2}-4ab=0}} \right.$

выразим 4b из первого уравнения и подставим во второе:

$4b=a^{2}/c$

$c^{2}-\frac{a^{3}}{c} =0$

т.к. $c \neq 0$

тогда $c^{3}-a^{3}=0$

$c^{3}=a^{3}$

$c=a$

подставим в выражение, где твыразили 4b

$4b=\frac{a^{2}}{a} = a$

$b=\frac{a}{4}$

подставим все получившиеся коэффициенты в первое уравнеие:

$ax^{2}+\frac{ax}{4} +a=0$

выразим дискриминант:

$D = \frac{a^{2}}{16} -4a^{2}$

видно, что дискриминант получится отрицательным, следовательно у данного трехчлена решений нет.

ответ: корней нет