Question

Решить систему уравнений (x-y)(x^2+y^2)=65 (x+y)(x^2-y^2)=5

Answer 1

Разделим первое уравнение на второе
$\frac{(x-y)( x^{2}+y ^{2}) }{(x+y)( x^{2}-y ^{2})} =13, \\ \frac{(x-y)( x^{2}+y ^{2}) }{(x+y)( (x-y)(x+y)} =13, \\ \frac{( x^{2}+y ^{2}) }{(x+y)(x+y)} =13,$
По свойству пропорции умножим крайние и средние члены пропорции
х²+у²=13(х²+2ху+у²)
12х²+26ху+12у²=0
6х²+13ху+6у²=0
Делим уравнение на у² и заменим переменную    $\frac{x}{y} =t$
6t²+13t+6=0
D=169-144=25
t=-3/2       или    t=-2/3
Решаем две системы
$1) \left \{ {{ \frac{x}{y} =- \frac{3}{2} } \atop {(x+y)( x^{2} -y ^{2})=5 } \right. 2) \left \{ {{ \frac{x}{y} =- \frac{2}{3} } \atop {(x+y)( x^{2} -y ^{2})=5 } \right.$
Решаем первую систему
$\left \{ {{ x} =- \frac{3}{2}y } \atop {(-\frac{3}{2}y+y)( (-\frac{3}{2})^{2} -y ^{2})=5 } \right.$
Решаем второе уравнение
$(-\frac{3}{2}\cdot y+y)( (-\frac{3}{2}\cdot y)^{2} -y ^{2})=5, \\ (-\frac{1}{2}y)( \frac{5}{4}y ^{2})=5$
Умножаем на 8
y³=-8
у=-2
тогда
х=(-3/2)(-2)=3
Решаем вторую систему
$\left \{ {{ x} =- \frac{2}{3}y } \atop {(-\frac{2}{3}y+y)( (-\frac{2}{3}\cdot y)^{2} -y ^{2})=5 } \right.$
Решаем второе уравнение
$(-\frac{2}{3}\cdot y+y)( (\frac{4}{9}-1)\cdot( y)^{2}=5, \\ (\frac{1}{3}y)(- \frac{5}{9})y ^{2}=5$
Умножаем на 27
y³=-27
у=-3
тогда
х=(-2/3)·(-3)=2
ответ. (3; -2) (2;- 3)

-