Question

Решить уравнение: 2 синус в квадрате х минус 3 синус х умноженное на косинус х плюс 4 умноженное на косинус в квадрате х равно 4.

Answer 1

$\tt 2\sin^2x-3\sin x\cos x+4\cos^2x=4\\ 2\sin^2x-3\sin x\cos x+4\cos^2x=4(\cos^2x+\sin^2x)\\ 2\sin^2x-3\sin x\cos x+4\cos^2x=4\cos^2x+4\sin^2x\\ 2\sin^2x+3\sin x\cos x=0\\ \sin x(2\sin x+3\cos x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt \sin x=0~~~\Rightarrow~~~ \boxed{\tt x=\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

$\tt 2\sin x+3\cos x=0$

Разделим левую и правую части уравнения на $\tt \cos x\ne 0$, получим:

$\tt 2tgx+3=0\\ tgx=-\frac{3}{2} ~~~\Rightarrow~~~ \boxed{\tt x=-arctg\frac{3}{2} +\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

$2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx + 4 {(cosx)}^{2} = 4 \\ 2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx + 4 {(cosx)}^{2} = 4 {(sinx)}^{2} + 4 {(cosx)}^{2} \\ - 2 {(sinx)}^{2} - 3sinxcosx = 0 \\ - sinx(2sinx + 3cosx) = 0 \\$

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл

$1) \: - sinx = 0 \\ x = \pi \: n$

n принадлежит Z

$2) \: 2sinx + 3cosx = 0 \\$

Разделим обе части уравнения на cosx, но cosx ≠ 0

$\frac{2sinx}{cosx} + \frac{3cosx}{cosx} = 0 \\ \\ 2tgx + 3 = 0 \\ \\ tgx = - \frac{3}{2} \\ \\ x = arc \: tg( - \frac{3}{2} ) + \pi \: k \\ \\ x = - arc \: tg( \frac{3}{2} ) + \pi \: k \\$

k принадлежит Z

ОТВЕТ: πn ; - arctg( 3/2 ) + πk , n, k принадлежат Z