Её производная равна: y' = 6x² + 6x = 6x(x + 1). Приравняв производную нулю, находим 2 критические точки: х = 0 и х = -1. Тем самым мы определили 3 промежутка монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0) и (0; +∞).
Находим знаки производной на этих промежутках. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 1 y' = 12 0 -1,5 0 12.
Как видим, максимум функции в точке х = -1, минимум в точке х = 0. Найдём значения функции в этих точках и на границах заданного промежутка.
x = -2 -1 -0,5 0 y = -2 3 2,5 2.
ответ: наибольшее и наименьшее значение функции у=2х^3+3х^2+2 на отрезке [-2;0] равны 3 и -2.
