Question

Решить уравнения ! 1) sin15x*sin3x+cos7x*cos11x=0 2) 1-3 sinx*cosx+cos^2x=0

Answer 1

$\sin15x\sin3x+\cos7x\cos11x=0 \\\ \frac{1}{2} (\cos(15x-3x)-\cos(15x+3x))+ \\\ \ + \frac{1}{2} (\cos(7x+11x)+\cos(7x-11x))=0 \\\ \cos12x-\cos18x+ \cos18x+\cos4x=0 \\\ \cos12x+\cos4x=0 \\\ \cos \frac{12x+4x}{2} \cos \frac{12x-4x}{2} =0 \\\ \cos8x\cos4x =0 \\\ \cos8x=0; \ 8x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n; \ x_1= \frac{ \pi }{16}+ \frac{ \pi n}{8} , n\in Z \\\ \cos4x=0; \ 4x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k; \ x_2= \frac{ \pi }{8}+ \frac{ \pi k}{4} , k\in Z$
ответ: $\frac{ \pi }{16}+ \frac{ \pi n}{8}$ и $\frac{ \pi }{8}+ \frac{ \pi k}{4}$, где n и k - целые числа

$1-3 \sin x\cos x+\cos^2x=0 \\\ \cos^2x+\sin^2x-3 \sin x\cos x+\cos^2x=0 \\\ \sin^2x-3 \sin x\cos x+2\cos^2x=0 \\\ tg^2x-3 tgx+2=0 \\\ D=3^2-4\cdot2=1 \\\ tgx= \frac{3+1}{2} =2; \ x=arctg2+ \pi n,n\in Z \\\ tgx= \frac{3-1}{2} =1; \ x= \frac{ \pi }{4} + \pi k,k\in Z$
ответ: $arctg2+ \pi n$ и $\frac{ \pi }{4} + \pi k$, где n и k - целые числа

Answer 2

1) sin15x*sin3x+cos7x*cos11x=0
1/2[cos(15x - 3x) - cos(15x + 3x)] - 1/2[cos(7x - 11x) + cos(7x + 11x)] = 0
1/2cos(12x) - 1/2cos(4x) = 0
cos(12x) - cos(4x) = 0
 2*[sin( 12x + 4x)/2sin(4x - 12x)/2] = 0
sin(8x)sin(4x) = 0
1) sin(8x) = 0
8x = πn, n∈X
x1 = (πn)/8, n∈Z
2)  sin(4x) = 0
4x = πk,k∈Z
x2 = (πk)/4, k∈Z  

2) 1 - 3 sinx*cosx + cos^2x = 0
sin^2x + cos^2x - 3 sinx*cosx + cos^2x = 0
sin^2x + 2cos^2x - 3 sinx*cosx = 0   / cos^2x ≠ 0
tg^2x -3tgx + 2 = 0
1)  tgx = 1
x1 = π/4 + πn, n∈Z
2)  tgx = 2
x2 = arctg2 + πk, k∈Z