Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения: xy'=3sqrt(x^2+y^2)+y

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u, мы получаем:

$x(u'x+u)=3\sqrt{x^2+u^2x^2}+ux\\ \\ u'x+u=3\sqrt{1+u^2}+u\\ \\ u'x=3\sqrt{1+u^2}$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx}\cdot x=3\sqrt{1+u^2}~~~\Rightarrow~~ \int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\int\frac{3dx}{x}\\ \\ \ln\big|u+\sqrt{u^2+1}~\big|=3\ln |x|+\ln C\\ \\ u+\sqrt{u^2+1}=Cx^3$

Выполнив обратную замену:

$\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}=Cx^3$ — общий интеграл