я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый.
Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))
(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))).
Еще вариант решения, по сути - такой же
Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 3 соотношения.
z+x+y = b;
z+(13-x)+(15-y) = a;
(a + b)/2 = 21
Складываем и делим на 2.
z = 7
Еще вариант решения - проводим спецальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (13 - z) и (15 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :)))
3a^2+5ab=19+2b^2
a, b > 0 a,b ∈ N
разложим 3a^2+5ab=2b^2
3a^2+5ab -2b^2 = 0
D = (5b)^2 + 4*3*2b^2 = 25b^2 + 24b^2 = 49b^2
a12 = (-5b +- 7b)/6 = -2b 1/3b
3a^2+5ab -2b^2 = (a - 1/3b)(a + 2b) = (3a - b)(a + 2b)
получили
(3a - b)(a + 2b) = 19
19 простое делится на +- 1 и +- 19
значит и множители могут быть только целыми в левой части
19 = 1*19 = (-1) * (-19)
получаем системы
1. 3a - b = -1
a + 2b = -19 нет a, b > 0
2. 3a - b = -19
a + 2b = -1 нет a, b > 0
3. 3a - b = 1
a + 2b = 19
4. 3a - b = 19
a + 2b = 1 нет a, b > 0
решаем только одну систему
3a - b = 1
a + 2b = 19
--
b = 3a - 1
a + 2(3a - 1) = 19
a + 6a -2 = 19
7a = 21
a = 3
b = 3a - 1 = 3*3 - 1 = 8
ответ (3, 8)
11-2x>0
x<5.5