Question

Напишите пять первых элементов последовательности, заданной общим элементов. является ли данная последовательность монотонной, ограниченной, сходящейся.

Answer 1

$x_1=\frac{1}{4} ;\ x_2=\frac{2}{8} ;\ x_3=\frac{3}{16} ;\ x_4=\frac{4}{32} ;\ x_5=\frac{5}{64} .$
Последовательность является строго монотонной (убывающей).
Снизу ограничена числом 0, а сверху числом 1.
Является сходящейся по признаку Даламбера.
$\lim_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} =\lim_{n\rightarrow +\infty }(\dfrac{n+1}{2^{n+2}}*\dfrac{2^{n+1}}{n})= \\ =\dfrac{1}{2}\lim_{n\rightarrow +\infty }(1+\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{2}$