Дана функция у = (1/3)х³ - (3/2)х² - 4х + 10.
Исследование функций по схеме:
1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.
2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна. Поэтому и вертикальных асимптот нет.
3. Точки пересечения функции с осями координат.
С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 10).
С осью Ох при у = 0.
Надо решить уравнение (1/3)х³ - (3/2)х² - 4х + 10 = 0.
Для решения кубического уравнения используем метод Кардано - Виета. Приводим его к виду
х³ - 4,5х² - 12х + 30 = 0. Делаем подстановку у = х – (а/3). Получаем уравнение неполного вида:
у3 + py + q = 0. Корни вычисляются по тригонометрической формуле Виета.
Они являются абсциссами точек пересечения оси Ох:
x₁ = 5,682681
x₂ = -2,963867
x₃ = 1,781186
4. Четность, нечетность.
f(-х) у = (1/3)(-х)³ - (3/2)(-х)² - 4(-х) + 10 = у = -(1/3)х³ - (3/2)х² + 4х + 10 ≠ f(x), ≠ -f(x).
Функция не чётная и не нечётная.
5. Периодичность: не периодическая.
6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Находим производную: y' = ((1/3)х³ - (3/2)х² - 4х + 10)' = х² – 3x – 4.
Приравниваем её нулю: х² – 3x – 4 = 0. D = 9 + 4*4 = 25.
x1 = (3 – 5)/2 = -1, x2 = (3 + 5)/2 = 4.
Имеем 2 критических точки: х = -1 и х = 4.
Находим знаки производной на полученных промежутках.
х = -2 -1 1 4 5
y' = 6 0 -6 0 6
Видим, что при прохождении через точкe х = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = -1 меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.
Промежутки возрастания (y' > 0): (-∞; -1) и (4; +∞).
Убывания: (-1; 4) .
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная равна y'' = 2x - 3. Приравняем нулю:
2x - 3 = 0. х = 3/2. Это и есть точка перегиба.
8. Наклонные асимптоты: нет.
9. Построение графика. Таблица точек:
x y
-4 -19.3
-3 -0.5
-2 9.3
-1 12.2
0 10
1 4.8
2 -1.3
3 -6.5
4 -8.7
5 -5.8
6 4
7 22.8
2+5+15+7+3+6+4 = 42
42 : 7 = 6